Question

（2012?湖南模擬）為了使粒子經過一系列的運動后，又以原來的速率沿相反方向回到原位，可設計如下的一個電磁場區域（如圖所示）：水平線QC以下是水平向左的勻強電場，區域Ⅰ（梯形PQCD）內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B；區域Ⅱ（三角形APD）內的磁場方向與Ⅰ內相同，但是大小可以不同，區域Ⅲ（虛線PD之上、三角形APD以外）的磁場與Ⅱ內大小相等、方向相反．已知等邊三角形AQC的邊長為2l，P、D分別為AQ、AC的中點．帶正電的粒子從Q點正下方、距離Q點為l的O點以某一速度射出，在電場力作用下從QC邊中點N以速度v₀垂直QC射入區域Ⅰ，再從P點垂直AQ射入區域Ⅲ，又經歷一系列運動后返回O點．（粒子重力忽略不計）求：
（1）該粒子的比荷；
（2）粒子從O點出發再回到O點的整個運動過程所需時間．

Answer 1

分析：粒子從O到N與從N到O是逆過程，N到O做類平拋運動．從N到P，做勻速圓周運動，半徑等于l，由牛頓定律求出比荷．畫出粒子在磁場中運動軌跡，找出半徑與三角形邊長的關系，定出時間與周期的關系，求出時間．

解答：解：
（1）根據牛頓第二定律和洛侖茲力表達式有
     qv₀B=m

v 2 0

R

              
   根據題意R=l，解得 

q

m

=

v0

Bl

                      
（2）粒子在電磁場中運動的總時間包括三段：電場中往返的時間t₀、區域Ⅰ中的時間t₁、區域Ⅱ和Ⅲ中的時間t₂+t₃．
   根據平拋運動規律有
      t₀=

2l

v0

                        
   設在區域Ⅰ中的時間為t₁，則
     t₁=2?

2πl

6v0

=

2πl

3v0

                  
   若粒子在區域Ⅱ和Ⅲ內的運動如圖甲所示，則總路程為（2n+

5

6

）個圓周，根據幾何關系有
      AE=（4nr+r）=l                解得      r=

l

4n+1

    其中n=0，1，2…
   區域Ⅱ和Ⅲ內總路程為  s=（2n+

5

6

）×2πr   　
    t₂+t₃=

s

v0

=

(2π+ 5 6 )2πl

(4n+1)v0

   總時間t=t₀+t₁+t₂+t₃=

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+7

4n+1

)

  若粒子在區域Ⅱ和Ⅲ內運動如圖乙所示，則總路程為（2n+1+

1

6

）個圓周，根據幾何關系有：
    （4nr+3r）=l
    解得      r=

l

4n+3

    其中n=0，1，2…
   區域Ⅱ和Ⅲ內總路程為  s=（2n+1+

1

6

）×2πr=

2πl(2n+ 7 6 )

4n+3

  總時間t=t₀+t₁+t₂+t₃=

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+13

4n+3

)
答：（1）該粒子的比荷為

v0

Bl

；
   （2）粒子從O點出發再回到O點的整個運動過程所需時間為=

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+7

4n+1

)或

2l

v0

+

πl

3v0

(

20n+13

4n+3

)．

點評：本題屬于帶電粒子在組合場中運動問題，綜合性較強．磁場中圓周運動要畫軌跡分析運動過程，探索規律，尋找半徑與三角形邊的關系是關鍵．