Question

一個儲液桶的底面直徑為L．當(dāng)桶內(nèi)沒有液體時．從桶外某點A恰能看到桶底邊緣處的B點，A的高度為H，A距桶邊緣的水平距離為

L

2

．當(dāng)桶內(nèi)裝滿某種液體時，仍沿AB方向看去，恰好可以看到桶底上的點C，CB兩點間相距為

L

2

．
（1）求該種液體的折射率．（可以用根式表示）
（2）當(dāng)桶內(nèi)液體的深度為

H

2

時，仍沿AB方向看去，恰好可以看到桶底上的D點，求DB間的距離．
（3）若液體的液面逐漸下降，人沿AB方向觀察桶底．始終恰好可以看到處于桶底的點光源S，設(shè)液面下降的速度為v₁．則點光源S沿桶底移動的速度大小如何？

Answer 1

分析：（1）作出裝滿液體后的光路圖，由數(shù)學(xué)知識求出入射角和折射角的正弦值，根據(jù)折射定律求出折射率的大小．
（2）當(dāng)桶內(nèi)液體的深度為

H

2

時，仍沿AB方向看去，恰好可以看到桶底上的D點，折射角不變，故入射角不變，根據(jù)幾何知識求解DB間的距離．
（3）根據(jù)幾何知識和勻速運(yùn)動速度公式，得到點光源S沿桶底移動的速度大小與v₁的關(guān)系式，再進(jìn)行分析．

解答：解：（1）作出光路圖1所示，由幾何關(guān)系得：
 
sinr=

L

L2+ 4 9 H2

  ①
sini=

L

2 L2 4 + 4 9 H2

 ②
由折射定律得：n=

sinr

sini

=

9L2+16H2

9L2+4H2

 ③
（2）當(dāng)桶內(nèi)液體的深度為

H

2

時，作出光路圖2所示．

由于折射角不變，故入射角不變，則EF∥OC．
設(shè)BC=x₁，DC=x₂，由△BEC∽△BOI得：

x1

L

=

1 2 H

2 3 H

  ④
由△FEC∽△COI得：

x2

L 2

=

1 2 H

2 3 H

  ⑤
而DB=x₁-x₂，
聯(lián)立解得，BD=

3

8

L  ⑥
（3）如圖3所示．設(shè)BJ=x₃，SJ=x₄，液體的高度為h．點光源S沿桶底移動的速度大小為v₂．

由△BGJ∽△BOI得：
 

x3

L

=

h

2 3 H

，得：x₃=

3hL

2H

  ⑦
由△SGJ∽△COI得：
 

x4

L 2

=

h

2 3 H

，得：x₄=

3hL

4H

  ⑧
則△x=BS=x₃-x₄=

3hL

4H

△x

△t

=

3hL 4H

△t

=

3L

4H

?

h

△t

⑨
∵

h

△t

=v₁
∴v₂=

△x

△t

=

3L

4H

v1⑩
答：（1）該種液體的折射率為

9L2+16H2

9L2+4H2

．
（2）DB間的距離為

3

8

L．
（3）點光源S沿桶底移動的速度大小為

3L

4H

v1．

點評：本題關(guān)鍵是反復(fù)運(yùn)用幾何知識求解角度和相關(guān)距離，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力，難度較大．