Question

擺線是數學中眾多迷人曲線之一，它是這樣定義的：一個圓沿一直線無滑動地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線．在豎直平面內有xOy坐標系，空間存在垂直xOy平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，一質量為m、電荷量為+q的小球從坐標原點由靜止釋放，小球的軌跡就是擺線．小球在O點速度為0時，可以分解為大小始終相等的一水平向右和一水平向左的兩個分速度，如果速度大小取適當的值，就可以把小球的運動分解成以v₀的速度向右做勻速直線運動和從O點以向左速度v₁為初速度做勻速圓周運動兩個分運動．設重力加速度為g，下列式子正確的是（　　）

• A、速度大小所取的適當值應為

  mg

  qB

• B、經過t=

  πm

  qB

  第一次到達擺線最低點
• C、最低點的y軸坐標為y=-

  2m2g

  q2B2

• D、最低點的y軸坐標為y=-

  m2g

  q2B2

Answer 1

分析：初速度為零，將其分解為向右的v₀的速度和向左的等大的速度，其中向右的v₀的速度對應的洛倫茲力與重力平衡，做勻速直線運動；向左初速度與磁場垂直，做勻速圓周運動；實際運動是這兩個分運動的合運動．

解答：解：A、實際運動可以分解為向右的勻速直線運動和初速度向左的勻速圓周運動；
對于勻速直線運動，洛倫茲力與重力平衡，根據平衡條件，有：mg=qv₀B，解得：v₀=

mg

qB

，故A正確；
B、勻速圓周分運動的周期為：T=

2πm

qB

，經過t=

1

2

T=

πm

qB

，粒子到達最低點，故B正確；
C、D、勻速圓周分運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
qv₀B=m

v 2 0

R

解得：R=

mv0

qB

；
故最低點坐標為：y=-2R=-

2m2g

q2B2

，故C正確，D錯誤；
故選ABC．

點評：本題關鍵是將帶電粒子的運動分解為向右的勻速直線運動和初速度向左的勻速圓周運動，這是比較罕見的，較難．