Question

13．當把一質量為m的物體放置在斜面上時物體不能靜止而要下滑，現用一彈簧水平拉住物體，使物體靜止在斜面上不動．已知彈簧的勁度系數為k，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，斜面的傾角為θ，重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．求彈簧的形變量的取值范圍．

Answer 1

分析 對小球受力分析，分小球剛好不下滑時和小球剛好不上滑時兩種情況，根據力的平衡條件建立方程可得彈簧的形變量的取值范圍．

解答 解：對小球受力分析，小球受重力、支持力、彈簧的彈力和斜面對小球的靜摩擦力，
當小球剛好不下滑時，即最大靜摩擦力沿斜面向上，此時形變量最小，如圖示：

根據力的平衡條件可得：mgsinθ=kx_mincosθ+μ（mgcosθ+kx_minsinθ）
解得：x_min=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{kcosθ+μksinθ}$；
當小球剛好不上滑時，即最大靜摩擦力沿斜面向下，此時形變量最大，如圖示：

根據力的平衡條件可得：mgsinθ+μ（mgcosθ+kx_maxsinθ）=kx_maxcosθ
解得：x_max=$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{kcosθ-μksinθ}$；
所以彈簧的形變量的取值范圍是：$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{kcosθ+μksinθ}$≤x≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{kcosθ-μksinθ}$．
答：彈簧的形變量的取值范圍是：$\frac{mg（sinθ-μcosθ）}{kcosθ+μksinθ}$≤x≤$\frac{mg（sinθ+μcosθ）}{kcosθ-μksinθ}$．

點評 本題關鍵找出即將要向上滑動和即將要向下滑動的兩個臨界狀態，對物體受力分析，根據共點力平衡條件，列出方程求解．