Question

如圖所示，一輛質量為1.5kg的小車靜止在光滑水平面上，一個質量為0.50kg的木塊，以2.0m/s的速度水平滑上小車，最后與小車以相同的速度運動．小車上表面水平，木塊與車上表面的動摩擦因數是0.20．g取10m/s²，求
（1）木塊與小車共同運動的速度的大小；
（2）木塊在小車上相對滑行的時間；
（3）設小車與光滑水平面足夠長，若水平面右端也有一高度與左端一樣的平臺，且小車與兩邊平臺碰撞過程中均沒有能量損失，求從木塊滑上小車開始到木塊與小車第n共同運動的時間及木塊在小車上滑行的路程．

Answer 1

分析：（1）根據運動過程中動量守恒即可求解；
（2）根據動量定理即可求解；
（3）分M與m的大小關系分兩種情況進行討論，根據動量守恒定律及動能定理求出滑動路程的通項，根據動量定理求出時間的通項，再結合數學知識即可求解．

解答：解：（1）根據運動過程中動量守恒得：
mv₀=（M+m）v₁
解得：v1=

m

M+m

v0=0.5m/s
（2）根據動量定理得：
μmgt=Mv₁-0
t1=

Mv0

(M+m)μg

=0.75s
（3）若M＞m，從第一次木板以v₁反彈開始，有
Mv₁-mv₁=（M+m）v₂
Mv₂-mv₂=（M+m）v₃…
Mv_n-1-mv_n-1=（M+m）v_n
解得：
v2=

M-m

M+m

v1
v3=

M-m

M+m

v2
…
vn=

M-m

M+m

vn-1=(

M-m

M+m

)n-1

m

M+m

v0
根據動能定理得：
μmgx1=

1

2

mv02-

1

2

(M+m)v12
μmgx2=

1

2

mv12-

1

2

(M+m)v22
…
μmgxn=

1

2

mvn2-

1

2

(M+m)vn-12
解得：
x1=

M

2μg(M+m)

v02
x2=

2M

μg(M+m)

v12
x3=

2M

μg(M+m)

v22=

2M

μg(M+m)

(

M-m

M+m

)2v12

xn=

2M

μg(M+m)

vn-12=

2M

μg(M+m)

(

M-m

M+m

)2(n-2)v12

x₂，x₃，x₄，…x_n是一個首項為

2M

μg(M+m)

v

2 1

公比為(

M-m

M+m

)2 的等比數列，共有n-1項
Sn=x1+

2M

μg(M+m)

v

2 1

n

n=2

(

M-m

M+m

)2(n-2)
=x1+

2M

μg(M+m)

v

2 1

?

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

2 0

+

2M

μg(M+m)

v

2 1

?

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

2 0

+

2M

μg(M+m)

?(

m

M+m

)2

v

2 0

?

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M v 2 0

2μg(M+m)

+

m v 2 0

2μg(M+m)

?[1-(

M-m

M+m

)2(n-1)]
在板上滑行的時間（不包含從共速至與平臺碰撞的時間）
-μmgt₂=Mv₂-Mv₁
-μmgt₃=Mv₃-Mv₂…
-μmgt_n=Mv_n-Mvn-1
t2=

2M

μg(M+m)

v1
t3=

2M

μg(M+m)

v2=

2M

μg(M+m)

 ?

M-m

M+m

v1
tn=

2M

μg(M+m)

vn-1=tn=

2M

μg(M+m)

 ?(

M-m

M+m

)n-2v1

t₂，t₃，t₄，…t_n是一個首項為

2M

μg(M+m)

v1 公比為 (

M-m

M+m

) 的等比數列，共有n-1項
tn=t1+

2M

μg(M+m)

v1

n

n=2

(

M-m

M+m

)n-2=t1+

2M

μg(M+m)

v1?

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2M

μg(M+m)

v1?

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2M

μg(M+m)

?

m

M+m

v0?

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

μg(M+m)

?[2-(

M-m

M+m

)(n-1)]
同理可得：若M＜m，
x₂，x₃，x₄，…x_n是一個首項為

2M

μg(M+m)

v

2 1

公比為(

m-M

m+M

)2 的等比數列，
共有n-1項
Sn=x1+

2M

μg(M+m)

v

2 1

n

n=2

(

m-M

m+M

)2(n-2)
=x1+

2M

μg(M+m)

v

2 1

n

n=2

(

m-M

m+M

)2(n-2)
=

M

2μg(M+m)

v

2 0

+

2M

μg(M+m)

v

2 1

?

1-( m-M m+M )2(n-1)

1-( m-M m+M )2

=

M

2μg(M+m)

v

2 0

+

2M

μg(M+m)

?(

m

M+m

)2

v

2 0

?

1-( m-M m+M )2(n-1)

1-( m-M m+M )2

=

M v 2 0

2μg(M+m)

+

m v 2 0

2μg(M+m)

?[1-(

m-M

m+M

)2(n-1)]
在板上滑行的時間（不包含從共速至與平臺碰撞的時間）
-μmgt₂=mv₂-mv₁
-μmgt₃=mv₃-mv₂
…
-μmgt_n=mv_n-mv_n-1
t2=

2m

μg(m+M)

 v₁
t2=

2m

μg(m+M)

 v2=

2m

μg(m+M)

 ?

m-M

m+M

v₁
所以tn=

2m

μg(m+M)

 vn-1=

2m

μg(m+M)

 ?(

m-M

m+M

)n-2v₁

t₂，t₃，t₄，…t_n是一個首項為

2m

μg(m+M)

v1，公比為 (

m-M

m+M

) 的等比數列，共有n-1項
tn=t1+

2m

μg(m+M)

v1

n

n=2

(

m-M

m+M

)n-2=t1+

2m

μg(m+M)

v1?

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2m

μg(m+M)

v1?

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2m

μg(m+M)

?

m

M+m

v0?

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

m2v0

μgM(m+M)

?[1-(

m-M

m+M

)(n-1)]．
答：（1）木塊與小車共同運動的速度的大小為0.5m/s；
（2）木塊在小車上相對滑行的時間為0.75s；
（3）從木塊滑上小車開始到木塊與小車第n共同運動的時間為

Mv0

μg(M+m)

?[2-(

M-m

M+m

)(n-1)]或

Mv0

(M+m)μg

+

m2v0

μgM(m+M)

?[1-(

m-M

m+M

)(n-1)]，木塊在小車上滑行的路程為

M v 2 0

2μg(M+m)

+

m v 2 0

2μg(M+m)

?[1-(

M-m

M+m

)2(n-1)]或

M v 2 0

2μg(M+m)

+

m v 2 0

2μg(M+m)

?[1-(

m-M

m+M

)2(n-1)]．

點評：本題主要考查了動量守恒定律，動量定理，動能定理的應用，第三問要先求出通項，再結合數學知識求解，難度很大，要求較高．