Question

如圖所示的平面直角坐標系中，虛線OM與x軸成45°角，在OM與x軸之間（包括x軸）存在垂直紙面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在y軸與OM之間存在豎直向下、電場強度大小為E的勻強電場，有一個質量為m，電荷量為q的帶正電的粒子以某速度沿x軸正方向從O點射入磁場區域并發生偏轉，不計帶電粒子的重力和空氣阻力，在帶電粒子進入磁場到第二次離開電場的過程中，求
（1）若帶電粒子從O點以速度V₁進入磁場區域，求帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離？
（2）若帶電粒子第二次離開電場時恰好經過O點，求粒子最初進入磁場時速度V的大小？并討論當V變化時，粒子第二次離開電場時速度大小與V大小的關系．

Answer 1

（1）帶電粒子進入磁場中，受到洛倫茲力做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得
    qv₁B=m

v 21

R

得軌跡半徑 R=

mv1

qB

設粒子從N點離開磁場，如圖，由幾何知識知，ON=

2

R=

2 mv1

qB

（2）帶電粒子進入電場時做類平拋運動，第二次離開電場時恰好經過O點，畫出軌跡，則
   水平位移  x=2R=vt
   豎直位移  y=2R=

1

2

at2
  而a=

qE

m

聯立得：v=

E

B

討論：
i）若v＞

E

B

，則粒子從y軸離開電場，水平位移為x=2R=

2mv

qB

=vt，得t=

2m

qB

離開電場時豎直分速度v_y=at=

qE

m

?

2m

qB

=

2E

B

帶電粒子離開電場時速度大小為u=

v 2y +v2

=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，則粒子從OM邊界離開電場，粒子在x、y兩個方向的分位移相等．
   x=vt
   y=

vy

2

t
則得v_y=2v
所以粒子離開電場時速度大小為u=

v 2y +v2

=

5

v．
答：
（1）若帶電粒子從O點以速度V₁進入磁場區域，帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離為

2 mv1

qB

．
（2）若帶電粒子第二次離開電場時恰好經過O點，粒子最初進入磁場時速度V的大小為

E

B

．當V變化時，粒子第二次離開電場時速度大小與V大小的關系如下：
i）若v＞

E

B

，則粒子帶電粒子離開電場時速度大小為u=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，則粒子離開電場時速度大小為u=

5

v．