Question

20．在真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強電場．若將一個質量為m、帶正電電量q的小球在此電場中由靜止釋放，小球將沿與豎直方向夾角為37°的直線運動．現將該小球從電場中某點以初速度v₀豎直向上拋出，求運動過程中（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）小球受到的電場力的大小及方向；
（2）小球運動從拋出點至最高點之間的電勢差U．
（3）小球最小速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球在此電場中由靜止釋放，小球將沿與豎直方向夾角為37°的直線運動，可知小球的合力沿與豎直方向夾角為37°的直線方向，即可得到重力與電場力的關系，用幾何關系求解．
（2）電勢差U=Ed，其中d為沿電場方向的距離，小球拋出后，由運動的分解知識可知，水平方向做勻加速直線運動，豎直方向做勻減速運動，由運動學方程求解即可．
（3）分別列式水平和豎直兩個方向分速度與時間的關系式，得到合速度與時間的關系，運用數學知識求解最小速度．

解答 解：（1）根據題設條件，電場力大小：F=mgtan37°=$\frac{3}{4}mg$
依據正電荷受到電場力與電場強度方向相同，因此小球受到的電場力水平向右．
（2）小球沿豎直方向做初速為v₀的勻減速運動，到最高點的時間為t，則：
由v_y=v₀-gt=0，
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{g}$
沿水平方向做初速度為0的勻加速運動，加速度為a_x；
那么a_x=$\frac{F}{m}$=$\frac{3}{4}g$
此過程小球沿電場方向位移為：s_x=$\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8g}$
小球上升到最高點的過程中，電場力做功為：
W=qU=FS_x=$\frac{9}{32}m{v}_{0}^{2}$
U=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{32q}$                                
（3）水平速度v_x=a_xt，
豎直速度v_y=v₀-gt
小球的速度v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
由以上各式得出$\frac{25}{16}{g}^{2}{t}^{2}$-2v₀gt+（v${\;}_{0}^{2}$-v²）=0 
解得當t=$\frac{16{v}_{0}}{25g}$時，v有最小值，v_min=$\frac{3}{5}{v}_{0}$
此時v_x=$\frac{16}{25}{v}_{0}$•v_y=$\frac{9}{25}{v}_{0}$
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{3}{4}$，即與電場方向夾角為37°斜向上．
 答：（1）小球受到的電場力的大小$\frac{3}{4}mg$及方向水平向右；
（2）小球運動從拋出點至最高點之間的電勢差$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{32q}$．
（3）小球最小速度的大小$\frac{3}{5}{v}_{0}$和方向與電場方向夾角為37°斜向上．

點評 本題的突破口是“小球在此電場中由靜止釋放，小球將沿與豎直方向夾角為53°的直線運動”，對于曲線運動問題，用運動分解的辦法，運用函數法求解最小速度．