Question

如圖所示自上而下分為Ⅰ、Ⅱ二個區域，在Ⅰ、Ⅱ中分布有垂直紙面向里的勻強磁場，區域Ⅰ寬度為d，區域Ⅱ中還分布有沿紙面豎直向上的勻強電場．現有一質量為m，電量為q的塵粒，從區域Ⅰ上邊緣的S處由靜止開始運動，然后以與界面成α角的方向從S₁處進入Ⅱ區域，塵粒在Ⅱ區域中剛好做勻速圓周運動，最后通過S₂回到Ⅰ區域，已知S₁到S₂的距離為L，重力加速度為g．求：
（1）該塵粒在進入Ⅱ區域時的速率
（2）勻強電場的電場強度和勻強磁場的磁感應強度的大小
（3）欲使微粒能進入Ⅱ區域，區域Ⅰ寬度d應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）塵粒從S到S₁過程，受到重力和洛倫茲力，只有重力做功，根據動能定理求出塵粒在進入Ⅱ區域時的速率．
（2）塵粒在Ⅱ區域中做勻速圓周運動，重力與電場力平衡，由洛倫茲力提供向心力，由平衡條件求出電場強度．根據幾何知識求出半徑，由牛頓定律求出磁感應強度．
（3）使微粒恰好能進入Ⅱ區域時，速度v與Ⅰ、Ⅱ界面平行．將塵粒在磁場Ⅰ中的運動分解為水平方向和豎直方向，研究水平方向，牛頓第二定律列出方程，采用積分法求出區域Ⅰ的寬度，得到d滿足的條件．

解答：解：（1）塵粒在磁場Ⅰ中運動時，根據動能定理，得
         mgd=

1

2

mv2，得到v=

2gd

    （2）塵粒在Ⅱ區域中做勻速圓周運動，則有mg=qE
       得到E=

mg

q

，方向豎直向上，說明塵粒帶正電．
    根據幾何知識求出塵粒勻速圓周運動的半徑R=

L

2sinα

    由牛頓第二定律，得qvB=m

v2

R

，代入解得
        B=

2m 2gd sinα

qL

    （3）塵粒在磁場Ⅰ中運動時，受到重力和洛倫茲力，將塵粒的運動分解為水平和豎直兩個方向，將洛倫茲力也分解為水平和豎直兩個方向．
如圖．
    對水平方向用牛頓第二定律，得
      F_x=ma_x
    qv_yB=ma_x=m

△vx

△t

   則有qv_yB△t=m△v_x
∑qv_yB△t=∑m△v_x
  得到qBy=mv
 由題微粒恰好能進入Ⅱ區域時，則速度v與Ⅰ、Ⅱ界面平行
   由動能定理，得mgy=

1

2

mv2
   代入解得y=

2m2g

B2q

故欲使微粒能進入Ⅱ區域，區域Ⅰ寬度d應滿足的條件d＜

2m2g

B2q

．
答：（1）該塵粒在進入Ⅱ區域時的速率為

2gd

．
    （2）勻強電場的電場強度和勻強磁場的磁感應強度的大小為

2m 2gd sinα

qL

．
    （3）欲使微粒能進入Ⅱ區域，區域Ⅰ寬度d應滿足的條件是d＜

2m2g

B2q

．

點評：本題第（1）、（2）小問是常規題，難點在第（3）問，根據運動的分解，運用積分法求解非變速運動的位移．這也是常用的方法．