Question

7．將火箭在豎直起飛階段視為加速度為a的勻加速運動．在豎直加速運動t時有一塊保溫泡沫塑料從箭殼上自行脫落，歷經2t落地，保溫泡沫塑料脫落后運動區域的重力加速度均為g．火箭最終將衛星送入距地表高度為$\frac{1}{10}$R的圓形軌道；R為地球半徑．不計空氣阻力，求：
（1）衛星在軌道上運行的加速度大小（用a表示）；
（2）衛星在軌道上運行的周期大約為多少分鐘？（已知近地軌道衛星的最小周期為T₀分鐘）

Answer 1

分析 （1）根據運動學公式求出地球表面的重力加速度，再由萬有引力提供向心力求出在軌道上的加速度；
（2）根據萬有引力提供向心力求出軌道半徑最小時的周期，再根據萬有引力提供向心力得到軌道處的重力加速度，聯立即可求解

解答 解：（1）加速t秒時位移$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
取向上為正有：$-\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=at•2t-\frac{1}{2}g（2t）_{\;}^{2}$
得$g=\frac{5a}{4}$
     由在地面：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（\frac{11R}{10}）_{\;}^{2}}=ma′$  
所以$a′=\frac{125}{121}a$
（2）由題意$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}R$
由萬有引力提供向心力有     $G\frac{Mm}{（\frac{11R}{10}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}×（\frac{11}{10}）R$
解得：$T=1.1\sqrt{1.1}{T}_{0}^{\;}$
答：（1）衛星在軌道上運行的加速度大小$\frac{125}{121}a$；
（2）衛星在軌道上運行的周期大約為$1.1\sqrt{1.1}{T}_{0}^{\;}$分鐘

點評 本題考查萬有引力定律的應用，同時考查豎直上拋運動以及勻速圓周運動的知識．保溫泡沫塑料與火箭脫離時有向上的速度v=at，與火箭脫離后做豎直上拋運動，由運動學公式可用a表示出重力加速度，火箭進入軌道以后做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，應用萬有引力定律求出火箭在軌道上運行時的加速度和周期．本題難度中等．