Question

如圖，P、Q為某地區水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區域內儲藏有石油，假定區域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠小于，可將上述球形區域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區重力加速度（正常值）沿豎直方向；當存在空腔時，該地區重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高。重力加速度在原堅直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現象。已知引力常數為G。

（1）設球形空腔體積為V，球心深度為d（遠小于地球半徑），=x，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半徑L的范圍內發現：重力加速度反常值在與（k>1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現在半為L的范圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。

Answer 1

（1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石,則該地區重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通過填充后的球形區域產生的附加引力………①來計算,式中的m是Q點處某質點的質量,M是填充后球形區域的質量,……………②
而r是球形空腔中心O至Q點的距離………③
在數值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小.Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向,重力加速度反常是這一改變在豎直方向上的投影…④
聯立以上式子得  ,…………⑤
（2）由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別為……⑥
……………⑦
由提設有、……⑧
聯立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為
,

略