Question

如圖所示，ABC為豎直放置的半徑為R=0.1m的半圓形光滑軌道，直徑AC與水平面垂直，A點剛好與水平軌道相接，在軌道的最低點A安裝了一個壓力傳感器，可測定小球在軌道內側，通過這點時對軌道的壓力F．質量為m=0.1kg的小球，以不同的初速度沖入ABC軌道．（g取10m/s²）
（1）若小球以某一速度沖入ABC軌道，恰能通過最高點C，求壓力傳感器的示數．
（2）小球每次通過C點，最后都落在水平軌道上，量出落地點到A點的距離x，試推導F與x變化的關系式．（用字母表示結果）

Answer 1

分析：（1）小球恰好通過最高點，重力提供向心力，在A點時，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式，從A到C的過程中，根據動能定理列式，聯立方程即可求解；
（2）小球由C點射出后做平拋運動，根據平拋運動的基本規律列式，從A到C的過程中，根據動能定理列式，在A點時，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式，聯立方程即可求解．

解答：解：（1）小球恰好通過最高點，重力提供向心力，則有：
mg=m

v2

R

①
從A到C的過程中，根據動能定理得：

1

2

mvC2-

1

2

mvA2=-mg?2R ②
在A點時，根據牛頓第二定律得：
FN-mg=m

vA2

R

 ③
由①②③解得：F_N=6mg=6×0.1×10=6N
根據牛頓第三定律可知壓力傳感器的示數為6N；
（2）小球由C點射出后做平拋運動，則有：
豎直方向：2R=

1

2

gt2  ④
水平方向：x=v_Ct     ⑤
從A到C的過程中，根據動能定理得：

1

2

mvC2-

1

2

mvA2=-mg?2R ⑥
在A點時，根據牛頓第二定律得：
F-mg=m

vA2

R

  ⑦
由④⑤⑥⑦解得：F=mg（

x2

4R2

+5）
答：（1）若小球以某一速度沖入ABC軌道，恰能通過最高點C，則壓力傳感器的示數為6N．（2）F與x變化的關系式為F=mg（

x2

4R2

+5）．

點評：圓周運動動力學問題中，向心力知識往往與動能定理或機械能守恒綜合，抓住速度是聯系它們之間的紐帶．