Question

湖南省電視臺“智勇大沖關”游樂節目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質量m=60kg的質點，選手抓住繩子末端由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角α=53°，繩長l=2m的懸掛點O距水面的高度為H=3m．不考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深．取g=10m/s²（sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）選手擺到最低點時對繩拉力的大小F；
（2）選手擺到右邊最高點時松手，設水對選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d；
（3）若要求選手擺到最低點時松手，且運動到浮臺處離岸水平距離最大，則選手實際的擺線長度l₁應為多少？

Answer 1

分析：（1）、在擺動過程中，機械能是守恒的，應用機械能守恒定律求出運動到最低點時的速度．再用牛頓運動定律結合圓周運動的向心力求出繩子對選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對繩子的拉力．
（2）、對從選手開始下落，到進入水后速度為零的過程中，由貫穿整個過程的重力做正功，進入水后，浮力和阻力最選手做負功，選手初末狀態的動能都為零，用動能定理列式，求出落入水中的深度．
（3）、對平拋運動沿水平和豎直兩個方向進行分解，水平方向上是勻速直線運動，豎直方向上時自由落體運動，分別列出位移式子，聯立后進行數學分析，得出當l=1.5m時，水平方向由最大值．

解答：解：（1）選手從最高點擺到最低點的過程中，由機械能守恒：
mgl(1-cosα)=

1

2

mv2
在最低點：T-mg=m

v2

l

聯立上兩式解得：T=1080N
（2）選手從右邊最高點開始作自由落體運動，然后再進入水中，由動能定理：mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0-0
解得：d=1.2m
（3）設選手擺動時的擺長為l₁，則mgl1(1-cosα)=

1

2

mv12
所以得：v1=

2gl1(1-cosα)

當選手在作平拋運動時，在豎直方向上：H-l1=

1

2

g

t

2

；
解得：t=

2(H-l1) g

在水平方向上：x=v1t=

2gl1(1-cosα) 2(H-l1) g

=2

l1(1-cosα)(H-l1)

=2

0.4l1(3-l1)

所以，當l₁=1.5m時選手擺到最低點松手，運動到浮臺處離岸水平距離最大．
答：（1）選手擺到最低點時對繩拉力的大小F為1080N；
（2）選手落入水中的深度d為1.2m；
（3）當l₁=1.5m時選手擺到最低點松手，運動到浮臺處離岸水平距離最大．

點評：本題考查到了機械能守恒，圓周運動向心力，動能定理，平拋運動規律及求極值問題．
解答第一問時，一定注意要求的是選手對繩子的拉力．解題過程中是對選手進行受力分析的，故不要忘記應用牛頓第三定律．應用動能定理解答第二問時，要注意，重力做功貫穿整個過程，而浮力和阻力做功只是在水中時．關于物理當中的極值問題，要會熟練的對式子進行數學分析，從而得出結論．