Question

17．如圖所示，質量m=1kg的小滑塊N（可視為質點）放在質量為M=m的長木板M左端，N和M之間的動摩擦因數μ₁=0.5，M和地面之間的動摩擦因數μ₂=0.1；現給小滑塊N一個水平向右的初速度v₀=8m/s，小滑塊N和長木板M同時到達B點且此時速度大小恰好相等，小滑塊到達長木板右端后，能夠由C點平滑地滑上固定的光滑圓弧軌道，圓弧軌道半徑R=0.3m，重力加速度g=10m/s²，求：

（1）小滑塊和長木板間摩擦產生的熱；
（2）判斷小滑塊是否會脫離圓弧軌道，若不會脫離，試證明，若會脫離，求滑塊脫離圓弧軌道的點離C點的豎直高度；
（3）當圓弧軌道半徑滿足什么條件時，小滑塊不會推力圓弧軌道．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求得兩者的加速度，利用速度時間和位移時間公式求得發生的位移，根據Q=fl求得產生的熱量；
（2）根據運動學公式求得到達B點的速度，利用牛頓第二定律求得即可判斷；
（3）若小球不能或恰好能到達圓弧軌道的圓心高度，則小球不會脫離軌道或者小球能夠通過圓弧軌道的最高點即可判斷

解答 解：（1）分別對小滑塊和長木板進行受力分析，小滑塊做勻減速直線運動，加速度大小${a}_{1}={μ}_{1}g=5m/{s}^{2}$
長木板做勻加速直線運動，加速度大小為：${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}=3m/{s}^{2}$
根據運動公式可知，長木板的長度l=4m
到達B點時，小滑塊和長木板的速度大小均為v_C=3m/s
故小滑塊和長木板間摩擦產生的熱量Q=fl=20J
（2）會脫離；當小球滑上圓弧軌道的初速度v_C=3m/s時，取軌道上D點對小球受力分析，如圖，設小球到達圖示位置的速度為v，

則${D}_{y}+N=\frac{m{v}^{2}}{R}$
$mg（R+h）=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
當N=0時，小球離開軌道，聯立解得h=0.1m
即當小球上升到距離C點的豎直高度為0.4m時，小球脫離軌道；
（3）分兩種情況：
①若小球不能或恰好能到達圓弧軌道的圓心高度，則小球不會脫離軌道，即：
$mgh=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$且h≤r，解得r≥0.45m
②小球能夠通過圓弧軌道的最高點，即：$2mgr=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$且$v≥\sqrt{gr}$解得r≤0.18m
即小滑塊不會推力圓弧軌道時半徑應該滿足0≤r≤0.18m或者r≥0.45m
答：（1）小滑塊和長木板間摩擦產生的熱為20J；
（2）小滑塊會脫離圓弧軌道，滑塊脫離圓弧軌道的點離C點的豎直高度為0.4m；
（3）當圓弧軌道半徑滿足0≤r≤0.18m或者r≥0.45m時，小滑塊不會推力圓弧軌

點評 本題關鍵是結合運動學公式和向心力公式判斷物體的運動情況，知道小球剛脫離軌道時，由重力的徑向分力提供向心力