Question

20．如圖1，用同種材料制成傾角為θ=30°的斜面和長水平面，斜面長3m且固定，斜面與水平面之間有一段很小的弧形平滑連接．一小物塊從斜面頂端以初速度為v₀沿斜面向下滑動，若初速度v₀=2m/s，小物塊運動2s后停止在斜面上．減小初始速度v₀，多次進行實驗，記錄下小物塊從開始運動到最終停止在斜面上的時間t，作出相應的速度--時間圖象如圖2所示．（已知g=10m/s²）求：
（1）小物塊在斜面上下滑的加速度大小和方向；
（2）小物塊與該種材料間的動摩擦因數；
（3）某同學認為，若小物塊初速度v₀=3m/s，則根據圖象可以推斷出小物塊從開始到最終停止的時間為3s．以上說法是否正確？若正確，請給出推導證明；若不正確，請說明理由，并解出正確的結果．

Answer 1

分析 （1）物體做勻減速直線運動，加速度方向沿斜面向上．根據相應的t-v₀圖象求出加速度的大小．
（2）根據牛頓第二定律，運用正交分解求出動摩擦因數的大小．
（3）不正確．因為隨著初速度v₀的增大，小物塊會滑到水平面上，規律將不再符合圖象中的正比關系．根據勻變速直線運動的速度位移公式求出物體滑動底端的速度，從而根據勻變速直線運動的速度時間公式求出在斜面上運行的時間．根據牛頓第二定律求出物體在水平面上的加速度，根據速度時間公式求出在水平面上運動的時間，從而求出總時間．

解答 解：（1）由圖象的斜率等于加速度，可得，加速度為 a=$\frac{{v}_{0}}{t}$=$\frac{2}{2}$=1m/s²，方向沿斜面向上；
（2）物塊所受的滑動摩擦力大小為 F_f=μmgcosθ，
由牛頓第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma
解得：μ=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
（3）不正確．因為隨著初速度v₀的增大，小物塊會滑到水平面上，
規律將不再符合圖象中的正比關系，
設小物塊在斜面上滑行位移x₁=3m時的速度減為v₁，
v₀²-v₁²=2ax₁，解得：v₁=$\sqrt{3}$m/s，
v₁=v₀-at₁，小物塊在斜面上滑行時間 t₁=$\frac{{v}_{0-}{v}_{1}}{a}$=（3-$\sqrt{3}$）s，
小物塊在水平面上滑行，牛頓第二定律：μmg=ma′，解得  a′=4$\sqrt{3}$m/s²，
小物塊在水平面上滑行時間v₁=a′t₂，解得：t₂=0.25s，
運動總時間 t_總=t₁+t₂=（3-$\sqrt{3}$+0.25）s=（3.25-$\sqrt{3}$）s；
答：
（1）小物塊在斜面上下滑的加速度大小為1m/s²，方向沿斜面向上；
（2）小物塊與該種材料間的動摩擦因數μ是$\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
（3）不正確，運動總時間為（3.25-$\sqrt{3}$）s．

點評 解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，運用牛頓第二定律和運動學公式聯合求解．要知道v-t圖象的斜率表示加速度．