Question

一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad長為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v₀的帶正電的粒子，如圖所示。已知粒子的電荷量為q,質量為m(重力不計)。

(1)若要使粒子能從ab邊射出磁場，v₀應滿足什么條件?

(2)若要使粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應從哪一條邊界射出?出射點位于該邊界上何處?最長時間是多少?

Answer 1

解析：(1)當軌跡圓與cd邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最大的情況，設此半徑為R₁，如圖所示，經分析可知∠OO′Q=60°

則有R₁cos60°+=R₁，得R₁=L當軌跡圓與ab邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最小的情況，設此半徑為R₂，如圖甲所示，經分析可知∠OO′Q=120°

則有R₂sin30°+R₂=,R₂=故粒子從ab邊射出的條件為＜R≤L根據qv₀B=m,可得＜v₀≤。

(2)由T=和t=T,可知：粒子在磁場區域內做勻速圓周運動的圓心角越大，粒子在磁場中運動的時間越長圓心角用θ表示，從以上各圖可以看出，如果粒子從cd邊射出，則圓心角θ＜60°；如果粒子從ab邊射出，則圓心角60°≤θ＜240°;如果粒子從ad邊射出，圓心角240°≤θ≤300°,由于磁場無右邊界，故粒子不可能從右側射出綜上所述，為使粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應從ad邊射出，如圖乙所示，從圖中可以看出，P點是離O點距離最大的出射點。PO=2R₂sin30°=,即出射點到O點的距離不超過,但不能為0

t_max=。

答案：(1)≤v₀≤  (2)ad邊出射點到0點距離不超過，但不能為0