Question

科學家在南極冰層中發現了形成于30億年前的火星隕石，并從中發現了過去微生物的生命跡象，從此火星隕石變得異常珍貴．今年1月，中國新聞網宣布2011年7月在摩洛哥墜落的隕石被證實來自火星．某同學想根據平時收集的部分火星資料（如圖中所示）計算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進行比較．下列計算火星密度的公式，正確的是（G為萬有引力常量，忽略火星自轉的影響）（　　）

• A．ρ=

  3g0

  πGd

• B．ρ=

  g0T2

  3πd

• C．ρ=

  3π

  GT2

• D．

  6M

  πd3

Answer 1

分析：火星的近地衛星由火星的萬有引力提供其做圓周運動所需的向心力，其軌道半徑近似等于火星的半徑，萬有引力近似等于近地衛星的重力，根據牛頓第二定律可求出火星的質量，由密度求出火星的密度．根據表格的信息，已知火星的質量和直徑，可求出火星的體積，也可以直接由密度公式求出火星的密度．

解答：解：設近地衛星的質量為m，火星的質量為M．
對近地衛星，火星的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，則有
   G

Mm

( d 2 )2

=m

4π2

T2

(

d

2

)
則得  M=

π2d3

2GT2

火星的密度為  ρ=

M

V

=

π2d3 2GT2

4 3 π( d 2 )3

=

3π

GT2

又火星對近地衛星的萬有引力近似等于近地衛星的重力，則有
   m₀g₀=G

Mm

( d 2 )2

解得，M=

g0d2

4G

火星的密度為 ρ=

M

V

=

g0d2 4G

1 6 πd3

=

3g0

2πGd

．
已知火星的質量和直徑，可求出火星的體積，則得
  V=

1

6

πd3
火星的密度為 ρ=

M

V

=

M

1 6 πd3

=

6M

πd3

故選CD

點評：本題是衛星類型，求解火星的質量，即中心天體的質量通常有兩種方法：一利用圓周運動知識，由萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解；根據萬有引力近似等于近地衛星的重力求解．