Question

如圖所示．一水平傳送裝置有輪半徑為R=m的主動輪Q₁和從動輪Q₂及傳送帶等構成．兩輪軸心相距8m，輪與傳送帶不打滑．現用此裝置運送一袋面粉（可視為質點），已知這袋面粉與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.4，這袋面粉中的面粉可不斷地從袋中滲出．
（1）當傳送帶以4m/s的速度勻速運動時，將這袋面粉由左端Q₁正上方A點輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運送到Q₂正上方的B端所用的時間為多少？
（2）要想盡快將這袋面粉（初速度為零）由A端送到B端，傳送帶速度至少多大？
（3）由于面粉的滲漏，在運送這袋面粉的過程中會在深色傳送帶上留下白色的面粉痕跡，這袋面粉（初速度為零）在傳送帶上留下的面粉痕跡最長能有多長？此時傳送帶的速度應滿足什么條件？

Answer 1

解：（1）面粉袋與傳送帶相對運動過程中所受摩擦力f=?mg
根據牛頓第二定律：
若傳送帶的速度v=4m/s，則面粉袋加速運動的時間 t₁=
在t₁時間內的位移
其后以v=4m/s速度勻速運動 s₂=l_AB-s₁=vt₂
解得：t₂=1.5s
所以運動總時間：t=t₁+t₂=2.5s
（2）要想時間最短，面粉袋應一直向B端勻加速運動
由
此時傳送帶的速度v′=at′=8m/s
（3）傳送帶速度越大，“痕跡”越長．
當面粉的痕跡布滿整條傳送帶時，痕跡達到最長．
即痕跡長l=2l_AB+2πR=18m
在面粉袋由A端運動到B端的時間t'=2s內痕跡達到最長，傳送帶運動的距離s≥l+l_AB=26m
則傳送帶的速度
答：
（1）這袋面粉由A端運送到Q₁正上方的B端所用的時間為2.5s．
（2）傳送帶速度至少為8m/s．
（3）這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長能有18.0m，此時傳送帶的速度應滿足應v≥13m/s．
分析：（1）面粉在傳送帶上先做勻加速直線運動，當速度達到傳送帶的速度時一起做勻速直線運動，結合牛頓第二定律和運動學公式，求出面粉由A端運送到Q₁正上方的B端所用的時間．
（2）要想時間最短，面粉袋應一直向B端做加速運動，根據運動學公式求出傳送帶的最小速度，從而根據位移公式求出速度的最小值．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長．當面粉的痕跡布滿整條傳送帶時，痕跡達到最長．痕跡的長度等于相對路程的大小，通過面粉袋的位移求出傳送帶的位移，通過時間求出主動輪的最小速度，從而求出速度的最小值．
點評：解決本題的關鍵理清面粉袋的運動情況，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．