Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點。D點位于水桌面最右端，水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離為R，P點到桌面右側邊緣的水平距離為2R。用質量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后彈簧恢復原長時物塊恰停止在B點。用同種材料、質量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點釋放，物塊過B點后其位移與時間的關系為，物塊從D點飛離桌面后恰好由P點沿切線落入圓軌道。g=10m/s²，求：

（1）BD間的水平距離；

（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達M點；

（3）m₂釋放后在桌面上運動的過程中克服摩擦力做的功。

Answer 1

（1）2.5m

（2）不能到達M點。

（3）5.6J

解析:

（1）設物塊塊由D點以初速做平拋，落到P點時其豎直速度為

，又 得m/s。

或設平拋用時為t，則在豎直方向上：，

在水平方向上： ，

可得m/s。

在桌面上過B點后初速m/s，加速度m/s²，

BD間位移為 m。

（2）若物塊能沿軌道到達M點，其速度為， 由機械能守恒定律得：

，

軌道對物塊的壓力為F_N，則，

解得 ，即物塊不能到達M點。

（3）設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數為，

釋放；

釋放，

且 ，

釋放后在桌面上運動過程中克服摩擦力做功為，

則由能量轉化及守恒定律得：，

可得W_f=5.6J。