Question

兩相互平行且足夠長的水平金屬導軌MN、PQ放在豎直平面內，相距0.4m，左端接有平行板電容器，板間距離為0.2m，右端接滑動變阻器R．水平勻強磁場磁感應強度為10T，垂直于導軌所在平面，整個裝置均處于上述勻強磁場中，導體棒CD與金屬導軌垂直且接觸良好，棒的電阻為1Ω，其他電阻及摩擦不計．現在用與金屬導軌平行，大小為2N的恒力F使棒從靜止開始運動．已知R的最大阻值為2Ω，g=10m/s²．則：
（1）滑動變阻器阻值取不同值時，導體棒處于穩定狀態時拉力的功率不一樣，求導體棒處于穩定狀態時拉力的最大功率．
（2）當滑動觸頭在滑動變阻器中點且導體棒處于穩定狀態時，一個帶電小球從平行板電容器左側，以某一速度沿兩板的正中間且平行于兩極板射入后，在兩極板間恰好做勻速直線運動；當滑動觸頭位于最下端且導體棒處于穩定狀態時，該帶電小球以同樣的方式和速度射入，小球在兩極板間恰好做勻速圓周運動，則小球的速度為多大，做圓周運動的軌道半徑多大？

Answer 1

（1）當棒達到勻速運動時，金屬棒受到的安培力：
F_B=BIL=B

E

R+r

L=B

BLv

R+r

L=

B2L2v

R+r

，
由平衡條件得：F=F_B，即：F=

B2L2v

R+r

，
導體棒的速度v=

F(R+r)

B2L2

，
拉力功率P=Fv=

F2(R+r)

B2L2

，
由此可知，回路的總電阻越大時，拉力功率越大，
當R=2Ω時，拉力功率最大，P_m=0.75（W）；
（2）當觸頭滑到中點即R=1Ω時，
棒勻速運動的速度v₁=

F(R+r)

B2L2

=0.25（m/s），
導體棒產生的感應電動勢E₁=BLv₁=10×0.4×0.25=1（V），
電容器兩極板間電壓U₁=

E1R

R+r

=0.5（V），


由于棒在平行板間做勻速直線運動，則小球必帶正電，
此時小球受力情況如圖所示，設小球的入射速度為v₀，
由平衡條件知：F+f=G   即 q

U1

d

+qv₀B=mg  ①，
當滑頭滑至下端即R=2Ω時，棒的速度V₂═

F(R+r)

B2L2

=

3

8

（m/s），
導體棒產生的感應電動勢  E₂=BLV₂=1.5V，
電容器兩極板間的電壓U₂=

E2R

R+r

=1V，
由于小球在平行板間做勻速圓周運動，
電場力與重力平衡，于是：q

U2

d

=mg  ②，
代入數值，由①②解得：v₀=

U2-U1

Bd

=0.25（m/s），
小球作圓周運動時洛侖茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 20

r

，
小球作圓周運動的半徑為r=0.0125m；
答：（1）導體棒處于穩定狀態時拉力的最大功率是0.75W．
（2）小球在兩極板間恰好做勻速圓周運動的速度為0.25m/s，做圓周運動的軌道半徑為0.0125m．