Question

11．如圖所示，光滑的傾斜軌道與半徑為r的光滑圓形軌道相連接，質量為m的小球，在傾斜軌道上由靜止釋放，要使小球恰能通過圓形軌道的最高點，求：
（1）小球釋放點離圓形軌道最低點多高？
（2）通過軌道點最低點時球對軌道的壓力？

Answer 1

分析 （1）要使小球能夠通過圓軌道的最高點，那么小球在最高點時，應該恰好由物體的重力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球通過最高點的速度，再由機械能守恒可以求得釋放點離地面的高度；
（2）由動能定理求出小球通過軌道最低點時的速度，在最低點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對小球的支持力，從而得到小球對軌道的壓力．

解答 解：（1）要使小球恰能通過圓形軌道的最高點，需有 m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mg…①
從A到C的過程，由機械能守恒定律得：mgH-mg（2r）=$\frac{1}{2}$mv² …②
由①②式得 H=2.5r…③
（2）令最低點速度為v₁，則由動能定理得：$\frac{1}{2}$mv₁²=mgH…④
在最低點，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$…⑤
由③④⑤式得：F=6mg．
由牛頓第三定律得球對軌道的壓力為：F′=F=6mg，方向豎直向下．
答：（1）小球釋放點離圓形軌道最低點為2.5r．
（2）通過軌道點最低點時球對軌道的壓力是6mg，方向豎直向下．

點評 本題是圓周運動中繩的模型，關鍵應明確在圓軌道的最高點的臨界條件是：重力等于向心力，在最低點由合力充當向心力．