Question

（20分）在長為2L的絕緣輕質細桿的兩端各連接一個質量均為m的帶電小球A和B（可視為質點，也不考慮二者間的相互作用力），A球帶正電、電荷量為+2q，B球帶負電。電荷量為－3q。現把A和B組成的帶電系統鎖定在光滑絕緣的水平面上，并讓A處于如圖所示的有界勻強電場區域MPQN內。已知虛線MP是細桿的中垂線，MP和NQ的距離為4L，勻強電場的場強大小為E，方向水平向右。現取消對A、B的鎖定，讓它們從靜止開始運動。（忽略小球運動中所產生的磁場造成的影響）

（1）求小球A、B運動過程中的最大速度；

（2）小球A、B能否回到原出發點？若不能，請說明理由；若能，請求出經過多長時間帶電系統又回到原地發點。

（3）求運動過程中帶電小球B電勢能增加的最大值。

Answer 1

解析：

（1）帶電系統鎖定解除后，在水平方向上受到向右的電場力作用開始向右加速運動，當B進入電場區時，系統所受的電場力為A、B的合力，因方向向左，從而做減速運動，以后不管B有沒有離開右邊界，速度大小均比B剛進入時小，故在B剛進入電場時，系統具有最大速度。

設B進入電場前的過程中，系統的加速度為a₁，由牛頓第二定律：

2Eq＝2ma₁                                           （2分）

B剛進入電場時，系統的速度為v_m，由 可得      （3分）

（2）對帶電系統進行分析，假設A能達到右邊界，電場力對系統做功為W₁

則                                     （2分）

故系統不能從右端滑出，即：當A剛滑到右邊界時，速度剛好為零，接著反向向左加速。由運動的對稱性可知，系統剛好能夠回到原位置，此后系統又重復開始上述運動。（2分）

設B從靜止到剛進入電場的時間為t₁，則              （1分）

設B進入電場后，系統的加速度為a₂，由牛頓第二定律（1分）

顯然，系統做勻減速運動，減速所需時間為t₂，則有  （1分）

那么系統從開始運動到回到原出發點所需的時間為   （2分）

（3）當帶電系統速度第一次為零，即A恰好到達右邊界NQ時，B克服電場力做的功最多，B增加的電勢能最多，此時B的位置在PQ的中點處           （1分）

所以B電勢能增加的最大值   （3分）