Question

16．如圖所示，直角坐標系xOy第一象限內有沿y軸負方向的勻強電場，第三現象-1.5h≤y≤0區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場．一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從電場中的P點，以初速度v₀沿x軸負方向發射．經點M（0，h）射出電場后，又從x軸上的點N（-h，0）進入磁場，不計粒子重力．試求：
（1）粒子經過M點的速度；
（2）P點的橫、縱坐標x、y滿足的關系；
（3）要使粒子在磁場中運動后能再次進入電場，磁場的磁感應強度B滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規律求出粒子的速度．
（2）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動求出x、y間的關系．
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，應用牛頓第二定律求出磁感應強度的臨界值，然后確定磁感應強度的范圍．

解答 解：（1）粒子經點M（0，h）射出電場后，從x軸上的點N（-h，0）進入磁場，
則：tanθ=$\frac{h}{h}$=1，θ=45°，粒子經過M點的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{sin45°}$=$\sqrt{2}$v₀；

（2）粒子在電場中做類平拋運動，豎直分速度：v_y=v₀，
在水平方向：x=v₀t，豎直方向：y-h=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，解得：y=$\frac{1}{2}$x+h；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qr}$，
粒子運動恰好能回到電場中的運動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：r₁sin45°+r₁=1.5h，解得：r₁=$\frac{3h}{2+\sqrt{2}}$，
r₂cos45°+r₂=h，解得：r₂=$\frac{2h}{2+\sqrt{2}}$，
則：B₁=$\frac{（2+2\sqrt{2}）m{v}_{0}}{3qh}$，B₂=$\frac{（2+2\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qh}$，
要使粒子在磁場中運動后能再次進入電場，磁場的磁感應強度B滿足的條件是：$\frac{（2+2\sqrt{2}）m{v}_{0}}{3qh}$≤B＜$\frac{（2+2\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qh}$；
答：（1）粒子經過M點的速度為$\sqrt{2}$v₀；
（2）P點的橫、縱坐標x、y滿足的關系為：y=$\frac{1}{2}$x+h；
（3）要使粒子在磁場中運動后能再次進入電場，磁場的磁感應強度B滿足的條件是：$\frac{（2+2\sqrt{2}）m{v}_{0}}{3qh}$≤B＜$\frac{（2+2\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qh}$．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，分析清楚粒子運動過程是解題的前提與關鍵，應用類平拋運動規律與牛頓第二定律可以解題，解題時注意幾何知識的應用．