Question

（2012?閔行區二模）如圖1所示，A、B、C、D為固定于豎直平面內的閉合絕緣軌道，AB段、CD段均為半徑R=1.6m的半圓，BC、AD段水平，AD=BC=8m．B、C之間的區域存在水平向右的有界勻強電場，場強E=5×10⁵V/m．質量為m=4×10^-3kg、帶電量q=+1×10^-8C的小環套在軌道上．小環與軌道AD段的動摩擦因數為μ=

1

8

，與軌道其余部分的摩擦忽略不計．現使小環在D點獲得沿軌道向左的初速度v₀=4m/s，且在沿軌道AD段運動過程中始終受到方向豎直向上、大小隨速度變化的力F（變化關系如圖2）作用，小環第一次到A點時對半圓軌道剛好無壓力．不計小環大小，g取10m/s²．求：
（1）小環運動第一次到A時的速度多大？
（2）小環第一次回到D點時速度多大？
（3）小環經過若干次循環運動達到穩定運動狀態，此時到達D點時速度應不小于多少？

Answer 1

分析：（1）小環第一次到A點時對半圓軌道剛好無壓力．知重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出A點的速度．
（2）對A到D運用動能定理，求出小環第一次回到D點時速度．
（3）穩定循環時，每一個周期中損耗的能量應等于補充的能量，結合圖象，根據動能定理求出D點速度的最小值．

解答：解：（1）由題意及向心力公式得：mg=m

vA2

R

                    
vA=

gR

=

10×1.6

m/s=4m/s                  
（2）小物塊從A點到第一次回到D的過程，由動能定理得：

1

2

mvD2-

1

2

mvA2=qEL                                 
vD=

vA2+ 2qEL m

=6m/s．
（3）v_A=4m/s=v₀，小環第一次從D到A做勻速運動
F=kv=mg
k=

mg

v

=

4×10-3×10

4

Ns/m=0.01Ns/m．
所以F_m=kv_m=2mg=0.08N，
則可知環與桿的摩擦力f≤μ|F_m-mg|=μmg=qE，
穩定循環時，每一個周期中損耗的能量應等于補充的能量          
W_損=W_最大≤f_ms=μ（F_m-mg）s=0.04J   
而W補=W電=qEs=1×10-8×5×105×8m=0.04J．
所以穩定循環運動時小環在AD段運動時速度一定要大于等于8m/s
即到達A點的速度不小于8m/s                                 
穩定循環運動時小環從A到D的過程，由動能定理得：

1

2

mvD2-

1

2

mvA2=qEL                                  
vD=

vA2+ 2qEL m

=2

21

m/s  
小環經過若干次循環運動達到穩定運動狀態，此時到達D點時速度應不小于2

21

m/s
答：（1）小環運動第一次到A時的速度為4m/s．
（2）小環第一次回到D點時速度為6m/s．
（3）小環經過若干次循環運動達到穩定運動狀態，此時到達D點時速度應不小于2

21

m/s．

點評：本題綜合運用了動能定理、牛頓第二定律等知識，綜合性強，對學生能力要求較高，涉及了不同的運動過程，關鍵是理清小環的運動，選擇合適的研究過程進行分析求解．