Question

如圖所示圓柱形屋頂中心的天花板上的O點，掛一根長L=2m的細繩，掛一個m=0.8kg的小球，繩承受的最大拉力為10N，小球在水平面內做圓周運動，速度逐漸增大到繩被拉斷后，小球恰以E_k=7.2J的動能落在墻角，求這個圓柱形房屋的高度H和半徑R．（g=10m/s²）

Answer 1

分析：先對小球受力分析，受重力和拉力，合力水平，提供向心力，結合牛頓第二定律求解出繩子與豎直方向的夾角；小球在繩子斷開后做平拋運動，根據豎直方向做自由落體運動求出下落的高度，根據幾何關系即可求得H，根據向心力公式求出繩斷時的速度，進而求出水平位移，再根據幾何關系可求R．

解答：解：如圖（1）所示，取小球為研究對象，設繩剛要斷裂時細繩的拉力大小為T，繩與豎直方向夾角為α，則在豎直方向有：Fcosα=mg
故cosθ=

mg

T

=0.8，所以有：θ=37°
球做圓周運動的半徑為：r=Lsin37°=2×0.6m=1.2m，
O、O′間的距離為：OO′=Lcos37°=1.6m，
則O′、O″間的距離為：O′O″=H-OO′=H-1.6m．
由牛頓第二定律知：Tsinθ=m

v 2 A

r

解得：v_A=

Trsinθ m

=3m/s
設在A點繩斷，細繩斷裂后小球做平拋運動，落在墻邊C處．
設A點在地面上的投影為B，如答圖（2）所示．
小球恰以E_k=7.2J的動能落在墻角，故落地速度為：v=

2Ek m

=

2×7.2 0.8

=3

2

m/s
由運動的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
由此可得小球平拋運動的時間為：t=

v2- v 2 A

g

=0.3s             
由平拋運動的規律可知小球在豎置方向上的位移為：s_y=

1

2

gt²=H-1.6m，
所以屋的高度為：H=

1

2

gt²+1.6m=

1

2

×10×0.3²m+1.6m=2.05m，
小球在水平方向上的位移為：s_x=BC=v_At=3×0.3=0.9m
由圖可知，圓柱形屋的半徑為：R=

r2+(BC)2

=1.5m
答：這個圓柱形屋頂的高度H為2.05m，半徑R為1.5m．

點評：本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用，要求同學們能畫出小球運動的軌跡，能結合幾何關系解題，難度適中．