Question

1．我國航天人為實現中華民族多年的奔月夢想，正在向著“繞、落、回”的第三步進軍，未來將有中國的航天員登上月球．假如航天員在月球上測得擺長為l的單擺做n次小振幅全振動的時間為t．已知月球可視為半徑為r的質量分布均勻的球體，引力常量為G，在月球表面h高處（h的大小與月球半徑r相比可以忽略不計）以水平初速度v₀拋出一小球，不考慮月球自轉的影響．
（1）求小球落到月球表面時的速度大小；
（2）若恰好能使小球不再落回月球表面
①v₀的大小應滿足什么條件；
②小球繞月球運動一周的最短時間．

Answer 1

分析 （1）由單擺周期公式求出重力加速度，根據平拋運動的規律求出小球落到月球表面的速度；
（2）①小球的最小發射速度即第一宇宙速度，根據重力提供向心力即可求解；
②根據公式$T=\frac{2πR}{{v}_{1}^{\;}}$求解最小周期；

解答 解：（1）單擺周期公式為：$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
$\frac{t}{n}=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
重力加速度為：$g=\frac{{4{π^2}{n^2}l}}{t^2}$
$v_y^2=2gh$
豎直分速度為：$v_y^{\;}=\sqrt{2gh}=\frac{2πn}{t}\sqrt{2lh}$；
水平分速度為：$v_x^{\;}=v_0^{\;}$
所以小球落地速度大小為：$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+\frac{{8{π^2}{n^2}}}{t^2}lh}$
（2）①根據重力提供向心力，有：$mg=\frac{mv_1^2}{R}$
得：${v_1}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}$
要使小球不再落回表面：${v_0}≥\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}$
②小球繞月球運動一周的最短時間：$t=\frac{2πR}{v_1}=\frac{2πR}{{\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}}}=\frac{2πR}{{\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}}}=\frac{t}{n}\sqrt{\frac{R}{l}}$．
答：（1）求小球落到月球表面時的速度大小$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}lh}$；
（2）若恰好能使小球不再落回月球表面
①v₀的大小應滿足條件${v}_{0}^{\;}≥\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}lR}{{t}_{\;}^{2}}}$；
②小球繞月球運動一周的最短時間$\frac{t}{n}\sqrt{\frac{R}{l}}$

點評 本題考查萬有引力定律解決實際問題的能力，關鍵是建立模型，理清思路．