Question

16．如圖所示，在平面直角坐標系xOy的第二象限內存在電場強度大小為E₀、方向水平向右的勻強電場，x軸下方是豎直向上的勻強電場和垂直紙面向外的勻強磁場的復合場區域．一帶電小球從x軸上的A點以一定初速度v₀垂直x軸向上射出，小球恰好以速度v₀從y軸上的C點垂直y軸進入第一象限，然后從x軸上的D點進入x軸下方的復合場區域，小球在復合場區域內做圓周運動，最后恰好擊中原點O，已知重力加速度為g．求：
（1）帶電小球的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）x軸下方勻強電場的電場強度大小E和勻強磁場的磁感應強度大小B；
（3）小球從A點運動到O點經歷的時間t．

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限受到重力和電場力，根據運動的合成和分解，分解為水平方向的勻加速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動，根據運動學公式列式即可求出比荷；
（2）小球從C到D做平拋運動，根據平拋運動的規律求出平拋的時間及進入磁場的速度大小和方向，進入磁場后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，結合幾何關系可求出B；
（3）分別求出粒子從A到C的時間、C到D的時間及D到O的時間，總和即A到O的時間

解答 解：（1）小球運動軌跡如圖所示，在第二象限內小球受重力和電場力作用做曲線運動，
由運動的合成與分解知豎直方向：v₀=gt₁，OC=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$
水平方向：v₀=at₁，OA=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$，
a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$
聯立得$\frac{q}{m}=\frac{g}{{E}_{0}}$，OC=OA=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，t₁=$\frac{{v}_{0}}{g}$
（2）設小球在D點時速度為v，小球從C點到D點做平拋運動，有
OC=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$，OD=v₀t₂，tanθ=$\frac{g{t}_{2}}{{v}_{0}}$，vcosθ=v₀
聯立得OD=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，t₂=$\frac{{v}_{0}}{g}$，θ=45°，v=$\sqrt{2}$v₀
因小球在復合場中做圓周運動，所以電場力與重力平衡，洛倫茲力提供向心$\frac{g}{{E}_{0}^{\;}}$力，
即mg=qE，得E=E₀而Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得B=$\frac{mv}{qR}$由軌跡圖知2Rsinθ=OD
聯立得B=$\frac{2{E}_{0}}{{v}_{0}}$．
（3）小球做圓周運動所用時間為t₃=$\frac{270°}{360°}×\frac{2πm}{Bq}=\frac{3π{v}_{0}}{4g}$
所以小球從A點運動到O點經歷的時間
t=t₁+t₂+t₃=（2+$\frac{3π}{4}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$．
答：（1）帶電小球的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{g}{{E}_{0}^{\;}}$；
（2）x軸下方勻強電場的電場強度大小E等于${E}_{0}^{\;}$和勻強磁場的磁感應強度大小B$\frac{2{E}_{0}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$；
（3）小球從A點運動到O點經歷的時間t為$（2+\frac{3π}{4}）\frac{{v}_{0}^{\;}}{g}$．

點評 本題考查粒子在復合場中的運動，要求同學們能正確分析粒子的受力情況和運動情況，注意運動的情境，尤其注意在重力場、電場和磁場中做勻速圓周運動時，洛倫茲力提供向心力，重力和電場力平衡．