Question

如圖（a）所示，左為某同學設想的粒子速度選擇裝置，由水平轉軸及兩個薄盤N₁、N₂構成，兩盤面平行且與轉軸垂直，相距為L，兩盤面間存在豎直向上的勻強電場，盤上各開一狹縫，兩狹縫夾角θ可調（如圖（b））；右為長為d的水平桌面，水平桌面的右端有一質量為m小球B，用長也為d的不可伸長的細線懸掛，B對水平桌面壓力剛好為零，今有電荷量為q，質量為2m的另一帶電小球A沿水平方向射入N₁，勻速通過兩盤間后通過N₂，并沿水平桌面運動到右端與小球B發生彈性碰撞，已知小球A與水平桌面間動摩擦因數為μ．
（1）求小球A帶何種電及兩盤面間的電場強度E的大小；
（2）若兩狹縫夾角為θ₀，盤勻速轉動，轉動方向如圖（b）．要使小球A與小球B碰后，懸掛的細線始終有拉力，試求轉動角速度ω．

Answer 1

分析：（1）根據小球A勻速兩盤過程中受到的電場力和重力平衡求解．
（2）對小球A在水平桌面運動過程由動能定理列出等式．小球A與小球B發生碰撞過程動量守恒和能量守恒列出等式．
小球B從最低點到最高點過程由機械能守恒列出等式，聯立多個等式結合圓周運動知識求解．

解答：解：（1）小球A勻速兩盤過程中受到的電場力和重力平衡，可見所帶電荷為正電荷
即2mg=qE①
解得：E=

2mg

q

②
（2）設小球A通過N₂時的速度為v，與小球B發生碰撞前瞬間的速度為v_A，對小球A在水平桌面運動過程由動能定理得-μ×2mgd=

1

2

×2m

v

2 A

-

1

2

×2mv2  ③
滿足條件  v_A＞0  ④
小球A與小球B發生碰撞過程動量守恒和能量守恒得2mvA=2m

v

′ A

+mvB⑤

1

2

×2m

v

2 A

=

1

2

×2m

v

′2 A

+

1

2

m

v

2 B

⑥
解得

v

′ A

=

1

3

vAvB=

4

3

vA
要使小球A與小球B碰后，懸掛的細線始終有拉力，則小球B運動臨界有兩種情況．
第一種情況：小球B碰后最大高度為d，對小球B由機械能守恒有

1

2

m

v

2 B

=mgd⑦
第二種情況：小球B碰后恰能做完整的圓周運動，小球B在最高點有mg=m

v ′2 B

d

⑧
小球B從最低點到最高點過程由機械能守恒有

1

2

m

v

2 B

=mg?2d+

1

2

m

v

′2 B

⑨
設小球A臨界速度分別為v₁、v₂和v₃，由③④⑤⑥⑦⑧式，得v1=

2μgd

⑩
v2=

(18+32μ)gd

4

（11）
v3=

(45+32μ)gd

4

（12）
若小球A通過轉盤，由題設可知  

L

v

=

2nπ+θ0

ω

n=0，1，2，3…（13）
聯立⑨⑩（11），得對應轉盤的角速度分別為ω1=

2nπ+θ0

L

2μgd

（14）
ω2=

2nπ+θ0

4L

(18+32μ)gd

（15）
ω3=

2nπ+θ0

4L

(45+32μ)gd

（16）
要使懸掛的細線始終有拉力，
需滿足條件

2nπ+θ0

L

2μgd

＜ω＜

2nπ+θ0

4L

(18+32μ)gd

n=0，1，2，3
或ω＞

2nπ+θ0

4L

(45+32μ)gd

n=0，1，2，3
答：（1）小球A帶何種電及兩盤面間的電場強度E的大小是

2mg

q

；
（2）要使小球A與小球B碰后，懸掛的細線始終有拉力，需滿足條件

2nπ+θ0

L

2μgd

＜ω＜

2nπ+θ0

4L

(18+32μ)gd

n=0，1，2，3
或ω＞

2nπ+θ0

4L

(45+32μ)gd

n=0，1，2，3．

點評：該題考查了動能定理、動量守恒和能量守恒多個知識點，難度較大，注意分析物體的運動過程和受力情況．