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如圖所示,頂角為2q 的光滑圓錐面,在頂尖上拴有一擺長為l的擺,擺球質量為m,當擺球以w 的角速度在水平面內做勻速圓周運動時,擺線上的張力多大?

答案:略
解析:

擺球剛好不離開錐面的臨界狀態是擺球雖然與錐面接觸,但與錐面無相互作用的彈力,對擺球受力分析,建立坐標系如圖所示,設此時小球的角速度為,根據牛頓運動定律有

聯立兩式解得

討論:(1)時,擺球受力如圖,得

T

(2)時,錐面對球有支持力,擺球受力情況如圖所示,列方程有

聯立③④兩式解得

(3)時,擺球離開錐面,設擺線與豎直方向的夾角為a,受力情況如圖所示,得

  由于題中w未給出確定數值,因此當擺球的角速度較小時,球貼著錐面運動;當擺球的角速度較大時,球會離開錐面做勻速圓周運動.所以應首先分析擺球的臨界狀態,然后再分情況對球作受力分析,應用牛頓運動定律進行求解.

  此題常見的一種錯誤解法是只分析擺球在錐面上的運動情況,得出上述討論(2)的結論,而忽略了上述(1)(3)兩種情況,沒有對物體的運動進行全面分析是導致漏解的原因.

  本題重點考查對物體運動情況全面分析的能力和臨界狀態的分析,分析此類問題的方法一般是采用假設法或極限思維.如本題中,假設擺球的角速度較小,球的運動情況怎樣和假設擺球的角速度較大時,擺球的運動情況又會怎樣,即可得知存在的臨界情況,這是一個難點,應注意練習掌握.


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如圖所示,頂角為2θ、內壁光滑的圓錐體倒立豎直固定在P點,中心軸PO位于豎直方向,一質量為m的質點以角速度ω繞豎直軸沿圓錐內壁在同一水平面上做勻速圓周運動,已知a、b兩點為質點m運動所通過的圓周一直徑上的兩點,求質點m從a點經半周運動到b點時,圓錐體內壁對質點施加的彈力沖量.

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