Question

在某個半徑為R=10⁵m的行星表面，對于一個質量m=1kg的砝碼，用彈簧稱量，其重力的大小G=1.6N．則：
①請您計算該星球的第一宇宙速度v₁是多大？
②請計算該星球的平均密度．（球體積公式V=

4

3

πR3，G=6.67×10^-11N?m²/kg²，結果保留兩位有效數字）

Answer 1

分析：（1）由重量和質量的關系知行星表面的重力加速度，第一宇宙速度是近表面運行速度，應用牛頓第二定律求解第一宇宙速度
（2）根據萬有引力等于重力求出行星質量，根據密度公式求解

解答：解：（1）由重量和質量的關系知：G=mg
所以g=

G

m

=1.6m/s²
設環繞該行星作近地飛行的衛星，其質量為m′
所以根據萬有引力提供向心力，應用牛頓第二定律有：
m′g=m′

v 2 1

R

解得：v1=

Rg

代入數值得第一宇宙速度：v₁=400m/s
（2）根據萬有引力等于重力得
mg=G

Mm

R2

M=

gR2

G

又V=

4

3

πR3
∴ρ=

M

V

=

3g

4πGR

代入數據解得ρ=5.7×10⁴kg/m³
答：①請您計算該星球的第一宇宙速度v₁是400m/s
②請計算該星球的平均密度是5.7×10⁴kg/m³．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力以及萬有引力等于重力．知道第一宇宙速度的具體含義．