Question

（2009?南匯區二模）重力勢能E_P=mgh實際上是萬有引力勢能在地面附近的近似表達式，其更精確的表達式應為EP=-G 

Mm

r

．式中的G為萬有引力恒量，M為地球質量，m為物體的質量，r為物體到地心的距離，并以無限遠處的引力勢能為零勢能．一顆質量為m的地球衛星，在離地高度為H處環繞地球做勻速圓周運動．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球質量未知．
試求：
（1）衛星做勻速圓周運動的線速度；
（2）衛星的引力勢能；
（3）衛星的機械能；
（4）若要使衛星能飛離地球（飛到引力勢能為零的地方），則衛星至少要具有多大的初速度從地面發射？

Answer 1

分析：（1）衛星在離地高度為H處環繞地球做勻速圓周運動，據萬有引力提供向心力，列出等式，根據根據在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式，兩等式結合求解．
（2）根據萬有引力勢能的表達式求解．
（3）衛星的機械能應該是動能和勢能之和．
（4）根據能量守恒，要使衛星能飛離地球，動能轉化為引力勢能進行求解．

解答：解：（1）衛星在離地高度為H處環繞地球做勻速圓周運動，據萬有引力提供向心力，列出等式：

GMm

(R+H)2

=

mv2

R+H

…①
根據根據在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式：

GMm

R2

=mg…②
由①②得：v=R

g R+H

（2）萬有引力勢能的表達式：EP=-G 

Mm

r

…③
由②③得：衛星的引力勢能：EP=- 

mgR2

R+H

（3）衛星的機械能應該是動能和勢能之和．
所以E=E_k+E_p=-

mgR2

2(R+H)

（4）根據能量守恒，要使衛星能飛離地球，動能轉化為引力勢能，衛星在地面的引力勢能是-G 

Mm

R

，要飛到引力勢能為零的地方，所以有：

1

2

m

v

2 0

-G 

Mm

R

=0
得：v₀=

2gR

答：（1）衛星做勻速圓周運動的線速度是R

g R+H

；
（2）衛星的引力勢能是- 

mgR2

R+H

；
（3）衛星的機械能是-

mgR2

2(R+H)

；
（4）若要使衛星能飛離地球（飛到引力勢能為零的地方），則衛星至少要具有的初速度是

2gR

．

點評：向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．
運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．
本題考查了多個知識點的應用，要能根據求解的問題選擇恰當的物理規律求解．