Question

15．甲乙兩車在同一直線上作同向勻速運動，速度均為v₀=20m/s，甲車在后，乙車在前，甲乙相距S₀，某時刻乙車以加速度a₂=-4m/s²剎車，甲車在△t=2s后以加速度a₁=-5m/s²剎車，S₀足夠大，甲乙不相撞．求：
（1）乙剎車后7秒內，甲車位移的大��；
（2）要使甲乙不相撞，S₀的最小值；
（3）若乙車加速度改為a₂=-2m/s²，則要使甲乙不相撞，S₀的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出甲車速度減為0的時間，甲車的位移是2s的勻速運動位移和勻減速運動位移之和；
（2）作出甲乙兩車運動的v-t圖象，要使兩車不相撞，${s}_{0}^{\;}$最小值就是v-t圖象面積之差；
（3）若${a}_{2}^{′}=-2m/{s}_{\;}^{2}$，如v-t圖象所示，兩車速度相等時不相撞，則此后就不會相撞，${s}_{0}^{\;}$的最小值就是${t}_{1}^{\;}$前兩車的位移差，圖象中的陰影面積；

解答 解：（1）乙剎車后7s內，甲車在△t=2s后以加速度a₁=-5m/s²剎車，甲車實際剎車時間5s
甲車速度減為0的時間$t=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{20}{5}=4s$
△t=2s內甲車的位移${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}t=20×2m=40m$
甲車剎車的位移：${x}_{2}^{\;}={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}=20×4+\frac{1}{2}×（-5）×{4}_{\;}^{2}$=40m
甲車位移的大小：${x}_{甲}^{\;}={x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=40+40=80m$
（2）要使兩車不相撞，${s}_{0}^{\;}$最小值就是v-t圖象面積之差，${s}_{0}^{\;}={x}_{1}^{\;}-\frac{1}{2}×20×5=80-50=30m$
（3）若${a}_{2}^{′}=-2m/{s}_{\;}^{2}$，如v-t圖象所示，兩車速度相等時不相撞，則此后就不會相撞，${s}_{0}^{\;}$的最小值就是${t}_{1}^{\;}$前兩車的位移差（v-t圖中陰影部分面積）

${v}_{0}^{\;}+{a}_{1}^{\;}（{t}_{1}^{\;}-△t）={v}_{0}^{\;}+{a}_{2}^{′}{t}_{1}^{\;}$
解得：${t}_{1}^{\;}=\frac{10}{3}s$
所以${s}_{0min}^{\;}={v}_{0}^{\;}△t+{v}_{0}^{\;}（{t}_{1}^{\;}-△t）+\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}（t-△t）_{\;}^{2}$$-（{v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{′}{t}_{1}^{2}）$=$\frac{20}{3}m$
答：（1）乙剎車后7秒內，甲車位移的大小80m；
（2）要使甲乙不相撞，S₀的最小值30m；
（3）若乙車加速度改為a₂=-2m/s²，則要使甲乙不相撞，S₀的最小值$\frac{20}{3}m$

點評 解決本題的關鍵能分析清楚兩車的運動情況，畫出運動的v-t圖象，并能根據圖象所反映的物體運動規律進行求解．抓住兩車不相撞的臨界條件，利用v-t圖象的面積求解位移，直觀的求出S₀的最小值．