Question

如圖甲，在圓柱形區域內存在一方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在此區域內，沿水平面固定一半徑為r的圓環形光滑細玻璃管，環心O在區域中心．一質量為m、帶電荷量為q（q?0）的小球，在管內沿逆時針方向（從上向下看）做圓周運動．已知磁感應強度大小B隨時間t的變化關系如圖乙所示，其中T₀=

2πm

qB0

．設小球在運動過程中電荷量保持不變，對原磁場的影響可忽略．
（1）在t=0到t=T₀這段時間內，小球不受細管側壁的作用力，求小球的速度大小v₀；
（2）在豎直向下的磁感應強度增大過程中，將產生渦旋電場，其電場線是在水平面內一系列沿逆時針方向的同心圓，同一條電場線上各點的場強大小相等．試求t=T₀到t=1.5T₀這段時間內：
①細管內渦旋電場的場強大小E；
②電場力對小球做的功W．

Answer 1

分析：（1）在t=0到t=T₀這段時間內，小球不受細管側壁的作用力，說明洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解；
（2）①根據法拉第電磁感應定律求解出感應電動勢，再進一步計算電場強度；
②先根據牛頓第二定律求解加速度，計算出路程，再求解電場力的功．

解答：解：（1）在t=0到t=T₀這段時間內，小球不受細管側壁的作用力，說明洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律，有
qv0B0=m

v 2 0

r

解得
v₀=

qB0r

m

 （2）①根據法拉第電磁感應定律，感應電動勢為：U=

S△B

△t

=πr2?

B0

1 2 T0

=

2πr2B0

T0

  
電勢差與電場強度的關系，有：U=E?2πr   
由上面兩式解得
E=

U

2πr

=

r B0

T0

其中：T0=

2πm

qB0

故：E=

qr0 B 2 0

2πm

②電場力為：F=Eq=

r B0q

T0

；
根據牛頓第二定律，有
F=ma
解得
a=

r B0q

mT0

物體的末速度為：v=v0+at=

qB0r

m

+

r B0q

mT0

?

T0

2

=

3qB0r

2m

根據動能定理，電場力做的功為：W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

=

5q2 B 2 0 r2

8m

；
答：（1）在t=0到t=T₀這段時間內，小球的速度大小為

qB0r

m

；
（2）在t=T₀到t=1.5T₀這段時間內：
①細管內渦旋電場的場強大小E為

qr0 B 2 0

2πm

；
②電場力對小球做的功W為

5q2 B 2 0 r2

8m

．

點評：本題是有關感應加速器的問題，感生電場的電場力做正功，電場力是恒定大小的力，電荷速率隨著時間均勻增加，結合動能定理、電勢差與電場強度的關系公式、牛頓第二定律列式求解．