Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，彈簧處于自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也是R．用質量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后彈簧恢復原長時物塊恰停止在B點．用同種材料、質量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點釋放，物塊過B點后其位移與時間的關系為x=8t-2t²，物塊從桌面右邊緣D點飛離桌面后，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）BP間的水平距離；
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達M點；
（3）釋放后m₂在水平桌面上運動過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）物塊由D點做平拋運動，根據平拋運動的基本公式求出到達D點的速度，根據物塊過B點后其位移與時間的關系得出初速度和加速度，進而根據位移-速度公式求出位移；
（2）物塊在內軌道做圓周運動，在最高點有臨界速度，則mg=m

vM2

R

，根據機械能守恒定律，求出M點的速度，與臨界速度進行比較，判斷其能否沿圓軌道到達M點．
（3）由能量轉化及守恒定律即可求出m₂釋放后在桌面上運動的過程中克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）設物塊由D點以v_D做平拋，
落到P點時其豎直速度為：v_y=

2gR

根據幾何關系有：

vy

vD

=tan45°
解得：v_D=4m/s
設平拋運動時間為t，水平位移為x₁，根據平拋運動規律：R=

1

2

gt²，x₁=v_Dt
解的：x₁=1.6m
由題意可知過B點后初速度為v₀=8m/s，加速度大小a=4m/s²，減速到v_D
BD間位移為x₂，有v₀²-v_D²=2ax₂，得：x₂=6m
所以BP間水平距離為x=x₁+x₂=1.6+6=7.6m
（2）設物塊到達M點的臨界速度為v_M，有：

1

2

m2vM2=

1

2

m₂v_D²-

2

2

m₂gR
解的：v_M=

16-8 2

＜

gR

=

8

所以物塊不能到達M點．
（3）設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ，
釋放m₁時，E_P=μm₁gs_CB
釋放m₂時，E_P=μm₂gs_CB+

1

2

m₂v₀²
且m₁=2m₂，
可得：E_p=7.2Jm₂釋放后在桌面上運動過程中克服摩擦力做功為W_f，
則由能量轉化及守恒定律得可得W_f=E_P-

1

2

m₂v_D²=5.6J
答：（1）BD間的水平距離為7.6m；
（2）m₂不能否沿圓軌道到達M點；
（3）m₂釋放后在桌面上運動的過程中克服摩擦力做的功為5.6J．

點評：該題涉及到多個運動過程，主要考查了機械能守恒定律、平拋運動基本公式、圓周運動向心力公式的應用，用到的知識點及公式較多，難度較大，屬于難題．