Question

光滑的圓弧軌道固定在豎直平面內，與水平軌道CE連接．水平軌道的CD段光滑、DE段粗糙．一根輕質彈簧一端固定在C處的豎直面上，另一端與質量為2m的物塊b剛好在D點接觸（不連接），彈簧處于自然長度．將質量為m的物塊a從頂端F點靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑．物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向左壓縮彈簧．已知圓弧軌道半徑為r，=l，物塊a、b與DE段水平軌道的動摩擦因數分別為μ₁=0.2和μ₂=0.4，重力加速度為g．物塊a、b均可視為質點．求：
（1）物塊a第一次經過E點時的速度是多少？
（2）試討論l取何值時，a、b能且只能發生一次碰撞？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據機械能守恒定律求出物塊a第一次經過E點時的速度．
（2）根據動能定理和動量守恒定律求出a、b一起壓縮彈簧時的速度，根據物塊a到達D點的速度不為零，求出l的范圍，以及知道a、b只發生一次碰撞，物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道上P點，物塊b在水平軌道上勻減速滑至P點也恰好停止．結合動能定理求出l的范圍．
解答：解：（1）物塊a由F到E過程中，由機械能守恒有：
解得第一次經過E點時的速度 
（2）物塊a從E滑至D過程中，由動能定理有：
解得物塊a在D點時的速度 v_D1=
物塊a、b在D點碰撞，根據動量守恒有：mv_D1=3mv_D2
解得兩物塊在D點向左運動的速度
a、b一起壓縮彈簧后又返回D點時速度大小
由于物塊b的加速度大于物塊a的加速度，所以經過D后，a、b兩物塊分離，同
時也與彈簧分離．
討論：①假設a在D點時的速度v_D1=0，即 l=5r 
要使a、b能夠發生碰撞，則l＜5r
②假設物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道上P點，物塊b在水平軌道上勻減速
滑至P點也恰好停止，設，則，根據能量守恒，
對a物塊     
對b物塊     
由以上兩式解得 
將代入  
解得  
要使a、b只發生一次碰撞，則
綜上所述，當時，a、b兩物塊能且只能發生一次碰撞．
答：（1）物塊a第一次經過E點時的速度是．
（2）當時，a、b兩物塊能且只能發生一次碰撞．
點評：本題綜合考查了機械能守恒定律、動量守恒定律和動能定理，對學生能力的要求較高，對于a、b能且只能發生一次碰撞，找出臨界狀況是解決本題的關鍵，對學生而言是一難點．