Question

13．如圖所示為地球的赤道面，地球自轉方向為由西向東，b、c為赤道上空自西向東環繞的兩顆人造衛星，某時刻發現這兩個衛星和地心的連線與赤道地面上的觀測點a和地心的連線的夾角都為θ，已知在之后的觀測過程中發現，b、c總是同時出現在觀測點上方，若已知同步衛星的軌道半徑為r₀，c衛星的軌道半徑為4r₀，則b的軌道半徑為（　　）

• A． （$\frac{8}{15}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r₀
• B． （$\frac{7}{15}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r₀
• C． （$\frac{4}{15}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r₀
• D． （$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r₀

Answer 1

分析 先由運動所完成的角度差確定出三者的角速度的關系，并由萬有引力提供向心力確定出角速度與半徑關系的表達式，聯立可解

解答 解：由運動角度關系得：（ω_b-ω_a）t=θ    ①（ω_a-ω_c）t=θ   ②
由二式可得：ω_b+ω_c=2ω_a 
又由萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mrω²，則$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
則：$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{b}^{3}}}$+$\sqrt{\frac{GM}{（4{r}_{0}）^{3}}}$=2×$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{0}^{3}}}$ 解得：r_b=（$\frac{8}{15}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r₀
則A正確
故選：A

點評 明確角度與角速度的關系，抓住萬有引力提供向心力，求解出角速度的表達式是解題的關鍵．注意數學運算．