Question

如圖豎直平面內的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧軌道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示。一個質量為m的小物塊（可視為質點）從軌道的A端以初動能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運動，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點。已知水平軌道AB長為L，軌道ABCD的質量為3m。求：
   （1）小物塊在水平軌道上受到摩擦力的大小。
   （2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？
   （3）若增大小物塊的初動能，使得小物塊沖上軌道后可以達到最大高度是1.5R，試分析小物塊最終能否停在軌道上？

 

Answer 1

【試題解析】 （1）小物塊沖上軌道的初速度設為，最終停在AB的中點，跟軌道有相同的速度，設為v。在這個過程中，系統動量守恒，有 系統的動能損失用于克服摩擦做功，有 得 又 解得摩擦力 （2）若小物塊剛好到達D處，此時它與軌道有共同的速度（與v相等），在此過程中系統總動能減少轉化為內能（克服摩擦做功）和物塊的勢能，同理，有 解得要使物塊不從D點離開滑道，CD圓弧半徑至少為 （3）設物塊以初動能E′沖上軌道，可以達到的最大高度是1.5R，物塊從D點離開軌道后，其水平方向的速度總與軌道速度相等，達到最高點后，物塊的速度跟軌道的速度相等（設為v₁），同理，有 物塊從最高點落下后仍沿圓弧軌道運動回到水平軌道上沿BA方向運動，假設能沿BA運動x遠，達到與軌道有相同的速度（等于v₂），同理，有， 結合④⑥式解得 即物塊最終停在水平滑道AB上，距B為處。 【試題評析】本題考查動量守恒定律、功能關系，是一道典型的動量能量綜合題。試題難度中等以上，對考生運用數學知識求解問題的能力要求較高。本題的亮點是（2）、（3）問考查學生情景遷移、類比推理的能力。只要對動量守恒有深刻的理解，物塊不論停在何位置，系統的末速度都相同，損失的機械能與初動能的比值不變。抓住這些關系，題目的求解就變得簡捷多了。