Question

【題目】如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道AB豎直固定在一水平光滑的桌面上，軌道最低點B與桌面相切并平滑連接，桌面距水平地面的高度也為R。在桌面上輕質彈簧被a、b兩個小球擠壓（小球與彈簧不拴接），處于靜止狀態。已知a球的質量為m0，a、b兩球質量比為2∶3。固定小球b，釋放小球a，a球與彈簧分離后經過B點滑上半圓環軌道并恰能通過軌道最高點A。現保持彈簧形變量不變同時釋放a、b兩球，重力加速度取g，求：

（1）釋放小球前彈簧具有的彈性勢能Ep；

（2）b球落地點距桌子右端C點的水平距離；

（3）a球在半圓軌道上上升的最大高度H。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由豎直平面內做圓周運動的條件求出a經過最高點的速度，由機械能守恒即可求出彈簧的彈性勢能；（2）由動量守恒與機械能守恒求出a與b的速度，由平拋運動即可求出b球落地點距桌子右端C點的水平距離；（3）由機械能守恒即可求出a球在半圓軌道上上升的最大高度H．

（1）設a、b兩球的質量為，由已知得

a球在B點時的速度為，恰能通過半圓環軌道最高點A時的速度為，則有：①

輕彈簧具有的彈性勢能釋放時全部轉化成小球a的機械能

a球從釋放到運動至A點過程中機械能守恒，則有②

（2）以a、b、彈簧為研究對象，彈開時系統動量守恒、能量守恒，a、b的速度分別為

則有：③， ④.又 ⑤

由③④⑤解得 ，

b球離開桌面后平拋，則有：⑥ ⑦

帶入解得：

（3）設a球上升至最大高度時速度為0，則有：

解得：，可見a球會在某處脫離半圓軌道

設脫離時a球速度為v，脫離位置半徑與豎直方向的夾角為α，如圖所示

根據圓周運動向心力公式有 ：⑧

根據幾何關系有：⑨

根據機械能守恒有 ：⑩

解得：