Question

（2013?合肥模擬）如圖甲所示，以兩虛線M、N為邊界，中間存在平 行紙面且與邊界垂直的水平電場，M、N間電壓U_MN的變 化圖象如圖乙所示，電壓的最大值為U．、周期為T₀ M、N兩側為相同的勻強磁場區域I、II，磁場方向垂直紙面 向里，磁感應強度為B．t=O時，將一帶正電的粒子從邊 界線M上的A處由靜止釋放，經電場加速后進入磁場，粒子在磁場中做圓周運動的周期也為T₀．兩虛線M、N 間寬度很小，粒子在其間的運動時間不計，也不考慮粒子 所受的重力．
（1）求該粒子的比荷

q

m

；
（2）求粒子第1次和第2次從右向左經邊界線N離開磁場區域時兩位置間的距離△d；
（3）若粒子的質量增加

1

8

，電荷量不變，t=0時，將其在A處由靜止釋放，求t=2T₀時粒 子的速度．

Answer 1

分析：（1）根據粒子在磁場中運動的周期公式求出粒子的比荷．
（2）第1次自右向左穿過邊界線N后再加速一次進入磁場區域Ⅱ，共被加速2次；第2次自右向左穿過邊界N時被加速3次，根據動能定理求出速度的大小，結合圓周運動的半徑公式求出粒子第1次和第2次從右向左經邊界線N離開磁場區域時兩位置間的距離△d．
（3）根據粒子質量的變化，得出粒子在磁場中運動周期的變化，確定出粒子加速的次數和加速的電壓大小，結合動能定理求出t=2T₀時粒子的速度．

解答：解：（1）根據qvB=m

v2

r

，周期T=

2πr

v

得
T=

2πm

qB

．
解得

q

m

=

2π

TB

．
（2）第1次自右向左穿過邊界線N后再加速一次進入磁場區域Ⅱ時的速度為v₁，共被加速2次．
2qU0=

1

2

mv12，解得v1=

4qU m

．
第2次自右向左穿過邊界N時被加速3次，速度為v₂
3qU0=

1

2

mv22，解得v2=

6qU0 m

．
因為r=

mv

qB

所以△d=2(r2-r1)=2(

3

-

2

)

1

B

2qU0 m

=2(

3

-

2

)

U0T πB

．
（3）因為周期T₀=

2πm

qB

粒子的質量增加

1

8

，則周期為T=

9

8

T0
增加△T=

1

8

T
每半個周期為

T

2

=

9

16

T0，增加了

1

16

T0
從t=0開始到t=2T₀為止的時間內，粒子共加速了4次，電壓分別為：U0、

3

4

U0、

2

4

U0、

1

4

U0
由動能定理得，

1

2

mv2=q(1+

3

4

+

2

4

+

1

4

)U0
解得v=

5qU0 m

=

10πU0 BT0

．
答：（1）該粒子的比荷

q

m

=

2π

TB

．
（2）粒子第1次和第2次從右向左經邊界線N離開磁場區域時兩位置間的距離為2(

3

-

2

)

U0T πB

．
（3）t=2T₀時粒 子的速度v=

10πU0 BT0

．

點評：本題考查了帶電粒子在電場中的運動，關鍵作出粒子的運動軌跡圖，結合動能定理、粒子在磁場中運動的半徑公式和周期公式進行求解．