Question

隨著越來越高的摩天大樓在各地的落成，至今普遍使用的鋼索懸掛式電梯已經漸漸地不適用了．這是因為鋼索的長度隨著樓層的增高而相應增加，這樣這些鋼索會由于承受不了自身的重量，還沒有掛電梯就會被扯斷．為此，科學技術人員正在研究用磁動力來解決這個問題．如圖所示就是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=1T，兩磁場始終豎直向上作勻速運動．電梯橋廂固定在如圖所示的一個閣超導材料制成的金屬框abcd內（電梯橋廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．電梯載人時的總質量為5×10³kg，所受阻力f=500N，金屬框垂直軌道的邊長L_cd=2m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框整個回路的電阻R=9.5×10^-4Ω，假如設計要求電梯以v₁=10m/s的速度向上勻速運動，那么，（取g=10m/s²）
（1）磁場向上運動速度v₀應該為多大？（結果保留兩位有效數字）
（2）在電梯向上作勻速運動時，為維持它的運動，外界必須提供能量，那么此時系統的效率為多少？（結果保留三位有效數字）

Answer 1

（1）當電梯勻速向上移動時，金屬框中感應電流大小為：
I=

2B1Lcd(V0-V1)

R

①
金屬框所受安培力F=2B₁IL_cd②
由平衡條件得：
F=mg+f③
解①②③得v₀=13m/s
（2）運動時能量由磁場提供，外界能量轉化為三部分，一是線框的重力勢能，二是線框產生電熱，三是阻力的負功．由①式代入數據得，
I=1.26×10⁴A
金屬框中焦耳熱功率為：P₁=I²R=1.51×10⁵W
有用功率為P₂=mgv₁=5×10⁵W
阻力功率為P₃=fv₁=5×10³W
系統效率η=

P2

P1+P2+P3

×100%=76.2%
答：（1）磁場向上運動速度v₀=13m/s
（2）此時系統的效率為76.2%