Question

（10分）如圖所示，AOB是游樂(lè)場(chǎng)中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi)，由兩個(gè)半徑都是R的1/4圓周連接而成，它們的圓心O₁,O₂與兩圓弧的連接點(diǎn)O在同一豎直線(xiàn)上.O₂B沿水池的水面，O₂和B兩點(diǎn)位于同一水平面上.一個(gè)質(zhì)量為m的小滑塊可由弧AO的任意位置從靜止開(kāi)始滑下，不計(jì)一切摩擦。

(1)假設(shè)小滑塊由A點(diǎn)靜止下滑，求小滑塊滑到O點(diǎn)時(shí)對(duì)O點(diǎn)的壓力；

(2)凡能在O點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，其落水點(diǎn)到O₂的距離如何；

(3)若小滑塊從開(kāi)始下滑到脫離滑道過(guò)程中，在兩個(gè)圓弧上滑過(guò)的弧長(zhǎng)相等，則小滑塊開(kāi)始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧AO上的何處（用該處到O₁點(diǎn)的連線(xiàn)與豎直線(xiàn)的夾角的三角函數(shù)值表示).

 

Answer 1

見(jiàn)解析

解析: 解：（1）mgR=mv²  

 F_O—mg=mv²/R     

聯(lián)立解得：F_O=3mg 2分

由牛頓第三定律得：壓力大小為3mg,方向豎直向下。  1分

（2）從A點(diǎn)下滑的滑塊到O點(diǎn)的速度為，設(shè)能脫離軌道的最小速度為v₁

則有：  mg=mv₁²/R,      得：v₁=  2分

  R=gt²         X=v_ot           聯(lián)立得：R≤x≤2R    2分

 (3) 如圖所示，設(shè)滑塊出發(fā)點(diǎn)為P₁，離開(kāi)點(diǎn)為P₂，按題意要求O₁ P₁、O₂ P₂與豎直方向的夾角相等，設(shè)其為θ，若離開(kāi)滑道時(shí)的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是

    m=mgcosθ    1分

由機(jī)械能守恒 2mgR(1- cosθ)=mv²  1分

聯(lián)立解得cosθ=0.8     1分