Question

13．某“雙星系統”由行星S₁和S₂構成，兩行星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點做勻速圓周運動，已知行星S₁和S₂的半徑之比為$\frac{2}{1}$，圓周運動的軌道半徑之比為$\frac{1}{3}$，每顆行星的半徑遠小于兩顆行星之間的距離，則行星S₁和S₂的密度之比約為（　　）

• A． $\frac{1}{24}$
• B． $\frac{2}{27}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{27}{8}$

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，周期相等．根據G $\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁r₁ω²=m₂r₂ω²，求出軌道質量比，然后結合體積公式即可求出．

解答 解：雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，周期相等，角速度相等．
雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，周期相等．根據G $\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁r₁ω²=m₂r₂ω²，
則半徑m₁：m₂=r₂：r₁=3：1
所以兩星球的半徑之比為2：1，由體積公式：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
密度：ρ=$\frac{m}{V}$
所以：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•\frac{{R}_{2}^{3}}{{R}_{1}^{3}}=\frac{3}{1}×（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{3}{8}$
所以選項C正確，ABD錯誤．
故選：C

點評 解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，周期相等，角速度相等．根據m₁r₁=m₂r₂，得出軌道半徑比，以及根據v=rω，a=rω²，得出線速度之比、向心加速度之比．