Question

（15分）北京時(shí)間05年4月12日20時(shí)0分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征三號(hào)乙”捆綁式運(yùn)載火箭，成功地將“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星(其質(zhì)量用m表示)送入太空。這顆“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星在圍繞地球的橢圓軌道上運(yùn)行。離地球表面最近的點(diǎn)A(近地點(diǎn))高度L₁=209km(209×10³m)、離地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)B(遠(yuǎn)地點(diǎn))高度L₂=49991km(49991×10³m)。已知地球質(zhì)量M=6.0×10²⁴kg、引力常量G=×10^-9N?m²/kg²、地球半徑R=6400km=6.4×10⁶m。地球上空任一高度處h(h為到地球中心的距離)，衛(wèi)星具有的引力勢(shì)能表達(dá)式為-，求：

（1）此衛(wèi)星在圍繞地球的橢圓軌道上從近地點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)B的時(shí)間約為幾天(設(shè)π²=10.保留兩位數(shù)字)

（2）證明：V_A?(L₁+R)= V_B(L₂+R)  其中V_A和V_B分別是“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星在近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B的速度；L₁+R和L₂+R分別是“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星在近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B到地球球心的距離(提示：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B所在軌道處的極小的弧形應(yīng)是半徑相等的圓弧的弧)

（3）試計(jì)算“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星的發(fā)射速度V的大小是多少km/s(保留兩位數(shù)字)

Answer 1

解析：

（1）萬(wàn)有引力提供向心力

=mω²r=m()²r                                    (1分)

整理得==                                          (1分)

由開(kāi)普勒定律及上面推證知任一橢圓中上式同樣適用：k===    (1分)

由圖知半長(zhǎng)軸r=(209+2×6400+49991)/2  km                    (1分)

=31500km(或315×10⁵m)                       (1分)

T=                                             (1分)

=s=0.64天                         (1分)

從近地點(diǎn)A運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)B的時(shí)間t=T/2=0.32天               (1分)

（2）設(shè)近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B所在軌道處的極小圓弧的半徑為ρ

依題意和萬(wàn)有引力提供向心力得：

f_A==m                  (1分)

f_B==m                 (1分)

聯(lián)立解得V_A?(L₁+R)=V_B(L₂+R)                  (1分)

（3）由機(jī)械能守恒及上面的證明得：

mV-=mV-            (1分)

mV-=mV-             (1分)

V_A?(L₁+R)= V_B(L₂+R)

聯(lián)立解得V=          (2分)

代入數(shù)據(jù)得V₀=10.6km/s               (2分)