Question

如圖所示，ab是水平的光滑軌道，bc是與ab相切的位于豎直平面內、半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道．現在A、B兩個小物體之間夾一個被壓縮的彈簧（彈簧未與A、B掛接）后用細線拴住，使其靜止在軌道ab上．當燒斷細線后，A物體被彈簧彈開，此后它恰能沿半圓形軌道通過其最高點c．已知A和B的質量分別為m_A=0.1kg和m_B=0.2kg，重力加速度g取10m/s²，所有物體均可視為質點．求：
（1）A在半圓形軌道的最高點c處時的速度大小；
（2）A剛過半圓形軌道最低點b時，對軌道的壓力大小；
（3）燒斷細線前，彈簧的彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）能到達半圓形軌道最高點的臨界條件是v≥

gR

，恰好能通過最高點說明在最高點重力完全提供向心力，依此求解即可；
（2）根據機械能守恒可以求出小球在b點時的速度，根據圓周運動在最高點和最低點合力提供向心力求解即可；
（3）燒斷細線前后，系統滿足動能量守恒和機械能守恒，據此求解即可．

解答：解：（1）設彈簧彈開后B物體與A物體的速度大小分別為v1和v2，A物體在c點的速度大小為v3．由于A恰能過c點，說明A在c點時對軌道無壓力，此時由重力提供向心力由牛頓第二定律有mAg=mA

v 2 3

R

代入數據解得v₃=2m/s（1分）
（2）A從b點到c點的過程中，機械能守恒有

1

2

mA

v

2 2

=

1

2

mA

v

2 3

+2mAgR
v2=

v 2 3 +4gR

  代入數據解得v2=2

5

m/s
在b點，軌道對A的支持力F與重力mAg的合力提供向心力
由牛頓第二定律：F-mAg=mA

v 2 2

R

代入數據解得F=6N  
由牛頓第三定律可得A對軌道的壓力大小為6N
（3）A、B被彈開的過程中，它們組成的系統動量守恒
有m_Av₂-m_Bv₁=0
代入數據解得v1=

5

m/s
該過程中A、B和彈簧組成的系統機械能守恒
有EP=

1

2

mA

v

2 2

+

1

2

mB

v

2 1

代入數據解得燒斷細線前，彈簧的彈性勢能E_P=1.5J
答：（1）A在半圓形軌道的最高點c處時的速度大小為v₃=2m/s；
（2）A剛過半圓形軌道最低點b時，對軌道的壓力大小為6N；
（3）燒斷細線前，彈簧的彈性勢能為1.5J．

點評：小球剛好到達圓管形軌道最高點的條件是：到達最高點時速度為零；應用動能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律即可正確解題．