Question

（2013?南昌二模）如圖所示，在光滑水平面上，質量為m的小球B連接著一個輕質彈簧，彈簧與小球  均處于靜止狀態．質量為2m的小球A以大小為v₀的水平速度向右運動，接觸彈簧后逐漸壓縮彈簧并使B運動，經過一段時間，A與彈簧分離．
（1）當彈簧壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能Ep為多大？
（2）若開始時，在B球的右側某位置固定一塊擋板，在A與彈簧未分離前使B球與擋板發生碰撞，并在碰撞后立即將擋板撤走．設B球與擋板碰撞時間極短，碰后B球的速度大小不變，但方向與原來相反．欲使此后彈簧被壓縮到最短時彈簧的彈性勢能能達到第（1）問中E_p的3倍，必須使兩球在速度達到多大時與擋板發生碰撞？

Answer 1

分析：（1）當彈簧壓縮至最短時，兩球的速度相等，根據系統的動量守恒和機械能守恒列式，即可求出此時彈簧的彈性勢能E_P．
（2）設B球與擋板碰撞時，A球速度為v₁、B球速度為v₂（均向右），根據動量守恒列式，B球與擋板剛碰后，A球速度為v₁、B球速度為-v₂（向左），此后彈簧壓縮至最短時有共同速度，再由系統的動量守恒和機械能守恒列式，即可得解．

解答：解：（1）彈簧壓縮至最短時，A、B速度均為v，選取向右為正方向，對于兩球組成的系統，根據動量守恒定律，有：
  2mv₀=（2m+m）v
解得：v=

2

3

v₀
此過程中，只有彈簧的彈力做功，機械能守恒，根據系統的機械能守恒定律，有：
 

1

2

×2m

v

2 0

=E_p+

1

2

（2m+m）v²
解得：E_p=

1

3

m

v

2 0

（2）彈簧被壓縮至最短時彈簧的彈性勢能能達到第（1）問中E_p的3倍，即：
  E_p′=3×

1

3

m

v

2 0

=mv

2 0

設B球與擋板碰撞時，A球速度為v₁，B球速度為v₂，（均向右），B與擋板碰后彈簧被壓縮到最短時共同速度為v′，則
根據碰后系統的機械能守恒得：E_p′=

1

2

×2m

v

2 0

-

1

2

（2m+m）v′²
由以上兩式得，v′=0，所以此時小球A、B的總動量也為0，說明B球與擋板碰前瞬間兩球動量等大，則有：
  2mv₁=2mv₂，
根據B與擋板碰后，AB的總動量守恒得：
  2mv₀=2mv₁+mv₂，
聯立解得：v₁=

1

2

v₀，v₂=v₀，
答：（1）當彈簧壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能Ep為

1

3

m

v

2 0

．
（2）必須使A球速度為

1

2

v₀，B球速度為v₀時與擋板發生碰撞．

點評：本題是含有彈簧的問題，關鍵要分析物體的運動過程，抓住系統的動量守恒和機械能守恒進行分析，綜合性較強．