Question

（2013?天津模擬）靜電噴漆技術具有效率高、浪費少、質量好、有益于健康等優點，其裝置可簡化如圖．A、B為水平放置的間距d=1.6m的兩塊足夠大的平行金屬板，兩板間有方向由B指向A的勻強電場，場強為E=0.1v/m．在A板的中央放置一個安全接地的靜電油漆噴槍P，油漆噴槍可向各個方向均勻地噴出初速度大小均為v₀=6m/s的油漆微粒，已知油漆微粒的質量均為m=1.0×10^-5kg、電荷量均為q=-1.0×10^-3C，不計油漆微粒間的相互作用、油漆微粒帶電對板間電場和磁場的影響及空氣阻力，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）油漆微粒落在B板上所形成的圖形面積；
（2）若讓A、B兩板間的電場反向，并在兩板間加垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=0.06T，調節噴槍使油漆微粒只能在紙面內沿各個方向噴出，其它條件不變．B板被油漆微粒打中的區域的長度；
（3）在滿足（2）的情況下，打中B板的油漆微粒中，在磁場中運動的最短時間．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律與運動學公式，結合圓形面積公式，即可求解；
（2）根據重力與電場力相平衡，由牛頓第二定律，結合洛倫茲力提供向心力，與幾何知識，即可求解；
（3）根據打在B板上的微粒中，pc最短的弦長對應的時間最短，結合幾何關系，與周期公式，即可求解．

解答：解：（1）油漆微粒的加速度為：a=

Eq+mg

m

…①
根據運動學公式有：d=

1

2

at2…②
運動的半徑：x=v₀t…③
落在B板上所形成圓形面積為：s=πx²…④
由①②③式并代入數據得：s=18.1m²…⑤
（2）當電場反向是有：Eq=mg…⑥
油漆微粒做勻速圓周運動，洛倫茲力充當向心力，由牛頓第二定律有：Bqv=m

v2

R

…⑦

水平向右射出的油漆微粒打在B板的右端，根據幾何關系有：R+Rcosα=d…⑧
ac的長度為：ac=Rsinα…⑨
打在B板左端的油漆微粒為和板相切的微粒，同理求得：bc=ac…⑩
油漆微粒打在極板上的長度為：ab=ac+bc…（11）
由⑥⑦⑧⑨⑩（11）式并代入數據得：ab=1.6m…（12）
（3）打在B板上的微粒中，pc最短的弦長對應的時間最短，
由幾何關系有：sinθ=

d 2

R

…（13）
運動的最短時間為：tmin=

2θ

2π

T…（14）

微粒在磁場中運動的周期為：T=

2πm

Bq

…（15）
由⑦（13）（15）式代入數據解得：t_min=0.31s；
答：（1）油漆微粒落在B板上所形成的圖形面積s=18.1m²；
（2）若讓A、B兩板間的電場反向，并在兩板間加垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=0.06T，調節噴槍使油漆微粒只能在紙面內沿各個方向噴出，其它條件不變．B板被油漆微粒打中的區域的長度ab=1.6m；
（3）在滿足（2）的情況下，打中B板的油漆微粒中，在磁場中運動的最短時間0.31s．

點評：考查帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，掌握牛頓第二定律與運動學公式的綜合應用，理解幾何關系在題中的運用，注意會畫出運動軌道，及已知長度與半徑的半徑．