Question

在平面直角坐標系內有P₁（-

4 3

3

m，3m）、P₂（

2 3

3

m，3m）、P₃（

2 3

3

m，-1m）、P₄（-

2 3

3

m，-1m），其平面內x≤12.5m的區域有平行XOY平面的勻強電場，12.5m≤x≤12.5m+d的區域內有垂直于該平面的勻強磁場，且P₁、P₂、P₃的電勢分別為-2000V、1000V、-1000V，磁感應強度為B=0.01T．如果有一個重力可以忽略的帶電粒子從坐標原點以大小為10⁶m/s、方向與-Y軸夾角為30°的速度射入第四象限，經過t=10^-5s時速度恰好平行X軸，方向與X軸同向．粒子運動過程中僅受電場或磁場作用．
（1）求P₄點的電勢；
（2）求帶電粒子的性質及比荷

q

m

；
（3）勻強磁場的寬度d至少多大時，該粒子才能返回電場？粒子從什么坐標位置返回電場？

Answer 1

分析：（1）根據U=Ed，d是兩點沿電場線方向的距離，分別求解1、2和4、3間的電勢差與場強的關系，即可求得P₄點的電勢．
（2）據題意，P₁ P₂與Y軸交點M（0m，3m）電勢為0，點N（

2 3

3

m，1m）的電勢也為0，直線MN就是一條等勢線，從而確定MN與Y軸夾角，得到電場的方向，由公式U=Ed求解電場強度的大小．在t內粒子在-Y方向上做勻減速運動，根據速度公式求解比荷．
（3）在t內粒子在+X方向上做勻加速運動，由位移時間公式求解位移，粒子速度與X軸平行時恰好進入磁場，根據洛倫茲力提供向心力，求解出軌道半徑．根據幾何知識求解即可．

解答：解：（1）據題意P₁ P₂平行P₃P₄，且這四點不在同一等勢面上，設P₁ P₂與電場方向的夾角為θ，這兩點間的電勢差為（φ₁-φ₂），則有：
?1-?2=E

.

P1P2

cosθ，
同理有：?4-?3=E

.

P4P3

cosθ
故：

. P1P 2

. P4P 3

=

?1-?2

?4-?3

解得：φ₄=-3000V
（2）據題意，P₁ P₂與Y軸交點M（0m，3m）電勢為0，點N（

2 3

3

m，1m）的電勢也為0，即直線MN為等勢線，設MN與Y軸夾角為α，則 tanα=

MP2

P2N

=

3

3

得：α=30°
因電場的方向垂直MN，所以電場方向與X軸夾角也30°，且指向第三象限．E=

U2M

MP2cosα

=1000V
在t內粒子在-Y方向上做勻減速運動vcos30°=a_yt
 ay=

Fy

m

=

Eqsin30°

m

解得：

q

m

=

3

×108C/kg，且帶負電；
（3）在t內粒子在+X方向上做勻加速運動，有：x=vsin30°t+

1

2

axt2
 ax=

Fx

m

=

Eqcos30°

m

代入數據得：x=12.5m
即粒子速度與X軸平行時恰好進入磁場為：Bqvx=m

v 2 x

r

  v_x=vsin30°+a_xt
解得：r=

2 3

3

m
d至少應為：d=r=

2 3

3

m
因進入磁場時  y=-

vcos30°

2

t=-

5 3

2

m
即進入磁場時粒子的坐標為 （12.5m，-

5 3

2

m）
故再次進入電場的坐標是 （12.5m，-

7 3

6

m）或（12.5m，-

23 3

6

m）
答：（1）P₄點的電勢為-3000V；
（2）帶電粒子帶負電，比荷

q

m

為

3

×10⁸C/kg；
（3）勻強磁場的寬度d至少為

2 3

3

m時，該粒子才能返回電場；粒子從 （12.5m，-

7 3

6

m）或（12.5m，-

23 3

6

m）坐標位置返回電場．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，正確分析粒子的運動情況，根據力學的基本規律求解．