Question

如圖所示，在坐標系xOy內有一半徑為a的圓形區域，圓心坐標為O₁(a，0)，圓內分布有垂直紙面向里的勻強磁場。在直線y=a的上方和直線x=2a的左側區域內，有一沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E。一質量為m、電荷量為+q(q>0)的粒子以速度v從O點垂直于磁場方向射入，當入射方向沿x軸正方向時，粒子恰好從O₁點正上方的A點射出磁場，不計粒子重力。
(1)求磁感應強度B的大小；
(2)若帶電粒子以沿x軸正方向成θ角的速度v從O點垂直于磁場方向射入磁場區域，求此時粒子離開磁場能到達電場中最遠位置的坐標；
(3)在(2)情況下，求帶電粒子從射入磁場到最終離開磁場所經歷的時間t；
(4)在(2)情況下，在原有場區所有條件均保持不變的情況下，請設計一種方案能使粒子最終從O點射出，且射出方向與初始射入O點的方向相反。（在作答時畫出軌跡示意圖）

Answer 1

解：(1)設粒子在磁場中做圓周運動的軌跡半徑為R，粒子自A點射出，由幾何知識得R=a ①
②
解得： ③
(2)帶電粒子從O射入到P點離開磁場，由幾何知識得粒子從P點的出射方向與y軸平行，粒子由O到P所對應的圓心角
P點的坐標為：x_P=a(1-cosθ₁)，y_P=asinθ₁
粒子進入電場做勻減速直線運動，其在電場中發生的最大位移為 ④
故粒子離開磁場能到達電場中最遠位置的坐標為：x=x_p=a(1-sinθ) ⑤，⑥

(3)粒子在磁場中做圓周運動的周期
粒子在電場中做勻變速運動，在電場中運動的時間為： ⑦
粒子由P點第2次進入磁場，由Q點射出，由幾何知識可知Q點在x軸上，粒子由P到Q的偏向角為θ₂，則θ₁+θ₂=π
粒子先后在磁場中運動的總時間為 ⑧
粒子在場區之間做勻速運動的時間為⑨
解得粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間為 ⑩
(4)根據對稱性設計出如圖所示的電場區域