Question

15．如圖所示，邊長為L的正方形區城內有勻強磁場，一帶電量為+q、質量為m的粒子從上邊緣的中點垂直磁場邊界以速度v₀射入，恰好可以從B點射出，不計粒子重力，求：
（1）磁感應強度B的大小；
（2）粒子仍從A點射入，速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$，試確定射出點的位置；
（3）若粒子仍從A點射入，速度為2v₀，試確定射出點的位置．

Answer 1

分析 （1）確定粒子做勻速圓周運動的圓心，畫出軌跡過程圖，洛倫茲力提供向心力結合幾何關系（勾股定理）即可求出磁感應強度B；
（2）確定粒子做勻速圓周運動的圓心，畫出粒子速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$的軌跡過程圖，洛倫茲力提供向心力結合幾何關系（勾股定理）即可求出射點位置；
（3）確定粒子做勻速圓周運動的圓心，畫出粒子速度為2v₀的軌跡過程圖，洛倫茲力提供向心力結合幾何關系（勾股定理）即可求出射點位置．

解答 解：（1）畫出粒子軌跡過程圖，如圖一所示，設粒子的半徑為R₁，圓心為O₁，

根據洛倫茲力提供向心力：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$ ①
根據勾股定理有：${R}_{1}^{2}$=L²+${（{R}_{1}-\frac{L}{2}）}^{2}$  ②
①②式聯立得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{5qL}$ ③
（2）畫出粒子軌跡過程圖，如圖二所示，粒子在BC邊上的D點射出，設粒子軌跡半徑為R₂，圓心為O₂，

根據洛倫茲力提供向心力：q$\frac{{v}_{0}}{2}$B=m$\frac{（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}}{{R}_{2}}$ ④
根據勾股定理得：${R}_{2}^{2}$=（CD）²+${（{R}_{2}-\frac{L}{2}）}^{2}$ ⑤
③④⑤式聯立得：CD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$L
所以粒子將在BC邊上距C點距離為$\frac{\sqrt{6}}{4}$L的D點射出
（3）畫出粒子軌跡過程圖，如圖三所示，粒子在BE邊上的F點射出，設粒子軌跡半徑為R₃，圓心為O₃，

洛倫茲力提供向心力，由q•2v₀B=m$\frac{{（2{v}_{0}）}^{2}}{{R}_{3}}$ ⑥
③⑥式聯立得可得：R₃=$\frac{5}{2}$L ⑦
根據勾股定理得：${R}_{3}^{2}$=（O₃G）²+L^{2 ⑧}
⑦⑧式聯立得：O₃G=$\frac{\sqrt{21}}{2}$L
根據幾何關系可得：BF=CG=AC-（R₃-O₃G）=（$\frac{\sqrt{21}}{2}$-2）L
所以粒子將在BE邊上距B點距離為（$\frac{\sqrt{21}}{2}$-2）L的F點射出
答：（1）磁感應強度B的大小為$\frac{4m{v}_{0}}{5qL}$；
（2）粒子仍從A點射入，速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$，粒子將在BC邊上的距C點距離為$\frac{\sqrt{6}}{4}$L的D點射出；
（3）若粒子仍從A點射入，速度為2v₀，粒子將在BE邊上的距B點距離為（$\frac{\sqrt{21}}{2}$-2）L的F點射出．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中運動，要求同學們熟練掌握洛倫茲力提供向心力與幾何關系結合的解題方法，準確作圖是解決問題的關鍵，同時也可以提高解題效率．