Question

一條寬度為L的河，水流速度為v_水，已知船在靜水中的速度為v_船，那么：（1）怎樣渡河時間最短？（2）若v_船>v_水，怎樣渡河位移最小？（3）若v_船<v_水，怎樣渡河船漂下的距離最短？

Answer 1

答案：
解析：

解析：（1）如圖所示，設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角θ．這時船速在垂直于河岸方向的速度分量為v1＝v船sinθ，渡河所需的時間為： t＝＝ 可以看出：L、v船一定時，t隨sinθ增大而減小；當(dāng)θ＝90°時，sinθ＝1（最大）．所以，船頭與河岸垂直時，渡河時間最短． 最短時間： tmin＝ （2）如圖所示，渡河的最小位移即河的寬度．為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量＝0．這時船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ．根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系有 v船cosθ－v水＝0 cosθ＝ θ＝arccos 因為0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水時，船才有可能垂直河岸渡過． （3）如果水流速度大于船在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖所示，設(shè)船頭與河岸成θ角，合速度v與河岸成a角（取小于90°的一邊）．可以看出：a角越大，船漂下的距離x越短．那么在什么條件下a角最大呢？以v水的矢尖為圓心、v船為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時，a角最大．根據(jù)cosθ＝v船/v水，船頭與河岸的夾角應(yīng)為 θ＝arccos 船漂下的最短距離： xmin＝(v水－v船cosθ)· 此時渡河的最短位移： s＝＝