Question

【題目】如圖所示，為某月球探測器在月面軟著陸的最后階段的運動示意圖。探測器原來懸停在A點，為避開正下方B處的障礙物，探測器需先水平運動到C點，再沿CD豎直下降，到達D點時速度變為0，此后探測器關閉所有發動機，在自身重力作用下自由下落至月面E點。已知月球表面重力加速度g = 1.62 m/s2，AC =1.6 m，CD = 26 m，DE = 4 m。探測器在A點時質量m = 1000 kg，從C點運動到D點所用時間為15 s。探測器主發動機M豎直向下噴氣，可產生0 ~ 7500 N的變推力，輔助發動機P、Q分別水平向左、水平向右噴氣，產生的推力恒為400 N，所有發動機噴出的氣體相對探測器的速度大小均為u = 2000 m/s，且發動機的推力F與噴氣速度u、秒流量Q（單位時間內噴出的氣體質量）滿足F = u·Q。探測器在如圖所示的整個過程中所消耗的燃料質量Δm << m。求：

（1）探測器著陸前瞬間的速度；

（2）探測器從C點運動到D點過程中所消耗的燃料質量Δm1；

（3）探測器從A點運動到C點過程消耗的燃料質量（即噴出的氣體質量）Δm2的最小值。

Answer 1

【答案】（1）3.6 m/s（2）12.15 kg （3）3.96 kg

【解析】（1）根據自由落體公式，有v2 - 0 = 2gh ①

由①式代入數據得v = 3.6 m/s ②

（2）對CD過程，根據動量定理有

IF - mgt = 0 - 0 ③

其中IF = ∑F Δt =∑u·QΔt = uΔm ④

由③④式代入數據得

Δm = 12.15 kg ⑤

（3）探測器從點運動到點的過程中，主發動機產生的推力

F1 = mg ⑥

秒流量Q1 = ⑦

發動機P或Q工作時，推力F2 = 500 N

秒流量Q2 = ⑧

發動機P或Q工作時，探測器的加速度

a = (9)

假設從A點運動到C點的過程中，探測器先加速運動t1時間，再勻速運動t2時間，最后再減速運動t3時間，易知

t1 = t3 (10)

探測器加速和減速過程中的位移

s1 = s3 =at12 ⑾

勻速過程中的位移

s2 = AC-s1-s3 ⑿

勻速運動的時間

t2 = ⒀

整個過程消耗的燃料質量

Δm2 = Q1（t1 + t2 + t3）+ Q2（t1 + t3） ⒁

由以上各式代入數據得

Δm2 = 1.21t1+ ⒂

易知，當t1==s時，Δm2最小，最小值為

Δm2min = 3.96 kg ⒃